ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 365

Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси $Ox$, на отрезке $[a; b]$ вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. **1)** $a = 3$, $b = 4$, $f(x) = x^2$. На отрезке $[3; 4]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_3^4 x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_3^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} $$ Ответ: $12\frac{1}{3}$. --- **2)** $a = 0$, $b = 2$, $f(x) = x^3 + 1$. На отрезке $[0; 2]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_0^2 (x^3 + 1)\,dx = \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_0^2 = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 0 \right) = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - 0 = 4 + 2 = 6 $$ Ответ: $6$. --- **3)** $a = 1$, $b = 8$, $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. На отрезке $[1; 8]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_1^8 x^{\frac{1}{3}}\,dx = \left. \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} \right|_1^8 = \left. \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right|_1^8 = \left. \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} \right|_1^8 $$ $$ S = \frac{3}{4} \cdot 8\sqrt[3]{8} - \frac{3}{4} \cdot 1\sqrt[3]{1} = \frac{3}{4} \cdot 8 \cdot 2 - \frac{3}{4} \cdot 1 = 12 - \frac{3}{4} = 11\frac{1}{4} = 11{,}25 $$ Ответ: $11\frac{1}{4}$ (или $11{,}25$). --- **4)** $a = 4$, $b = 9$, $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. На отрезке $[4; 9]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_4^9 x^{\frac{1}{2}}\,dx = \left. \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right|_4^9 = \left. \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_4^9 = \left. \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right|_4^9 $$ $$ S = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} - \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 - \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54 - 16}{3} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3} $$ Ответ: $12\frac{2}{3}$. --- **5)** $a = \frac{\pi}{3}$, $b = \frac{2\pi}{3}$, $f(x) = \sin x$. На отрезке $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3} \right]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x\,dx = \left. (-\cos x) \right|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = -\cos\frac{2\pi}{3} - \left(-\cos\frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} $$ Так как $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, а $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$: $$ S = -\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$ Ответ: $1$. --- **6)** $a = -\frac{\pi}{6}$, $b = 0$, $f(x) = \cos x$. На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{6}; 0 \right]$ функция $f(x) \ge 0$. $$ S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^0 \cos x\,dx = \left. \sin x \right|_{-\frac{\pi}{6}}^0 = \sin 0 - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Ответ: $\frac{1}{2}$ (или $0{,}5$).