ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 366

**1)** $b = 3$, $f(x) = x^2$ Найдём точку пересечения графика функции с осью $Ox$: $$ x^2 = 0 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 3]$ функция $f(x) \ge 0$. Вычислим площадь криволинейной трапеции: $$ S = \int_{0}^{3} x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9 $$ Ответ: $9$. --- **2)** $b = 2$, $f(x) = x^3$ Найдём точку пересечения с осью $Ox$: $$ x^3 = 0 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 2]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь равна: $$ S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - 0 = \frac{16}{4} = 4 $$ Ответ: $4$. --- **3)** $b = 4$, $f(x) = \sqrt{x}$ Найдём точку пересечения с осью $Ox$: $$ \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 4]$ функция $f(x) \ge 0$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} \right|_{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $$ Ответ: $5\frac{1}{3}$. --- **4)** $b = 8$, $f(x) = \sqrt[3]{x}$ Найдём точку пересечения с осью $Ox$: $$ \sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 8]$ функция $f(x) \ge 0$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx = \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} \, dx = \left. \frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4} \right|_{0}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - 0 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12 $$ Ответ: $12$. --- **5)** $b = 2$, $f(x) = 5x - x^2$ Найдём точки пересечения с осью $Ox$: $$ 5x - x^2 = 0 \implies x(5 - x) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 5 $$ Поскольку задана прямая $x = 2$, левой границей фигуры является корень $x = 0$. На отрезке $[0; 2]$ парабола расположена выше оси $Ox$ ($f(x) \ge 0$). Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{2} (5x - x^2) \, dx = \left. \left( \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{5 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3} \right) - 0 = 10 - 2\frac{2}{3} = 7\frac{1}{3} $$ Ответ: $7\frac{1}{3}$. --- **6)** $b = 3$, $f(x) = x^2 + 2x$ Найдём точки пересечения с осью $Ox$: $$ x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = -2 $$ Так как $b = 3$, левой границей рассматриваемой фигуры является $x = 0$. На отрезке $[0; 3]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь равна: $$ S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) \, dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) \right|_{0}^{3} = \left( \frac{27}{3} + 9 \right) - 0 = 9 + 9 = 18 $$ Ответ: $18$. --- **7)** $b = 1$, $f(x) = e^x - 1$ Найдём точку пересечения с осью $Ox$: $$ e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0 $$ На отрезке $[0; 1]$ имеем $f(x) \ge 0$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = \left. (e^x - x) \right|_{0}^{1} = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2 $$ Ответ: $e - 2$. --- **8)** $b = 2$, $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ Найдём точку пересечения с осью $Ox$: $$ 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1 $$ На отрезке $[1; 2]$ функция определена и $f(x) \ge 0$. Площадь равна: $$ S = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx = \left. (x - \ln|x|) \right|_{1}^{2} = (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) = 2 - \ln 2 - 1 = 1 - \ln 2 $$ Ответ: $1 - \ln 2$.