ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 368

Для вычисления определенных интегралов применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_{a}^{b} $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. 1) $$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx $$ Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ является $F(x) = \ln x$. Получаем: $$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left. \ln x \right|_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1 $$ Ответ: $1$. 2) $$ \int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx $$ Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является $F(x) = e^x$. Получаем: $$ \int_{0}^{\ln 2} e^x \, dx = \left. e^x \right|_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1 $$ Ответ: $1$. 3) $$ \int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx $$ Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$. Получаем: $$ \int_{-2\pi}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{-2\pi}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos(-2\pi)) $$ Так как $\cos \pi = -1$ и $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$: $$ -\cos \pi - (-\cos(-2\pi)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $$ Ответ: $2$. 4) $$ \int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx $$ Первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ является $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$. Получаем: $$ \int_{-3\pi}^{0} \cos 3x \, dx = \left. \left( \frac{1}{3}\sin 3x \right) \right|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3}\sin 0 - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot (-3\pi)) $$ Так как $\sin 0 = 0$ и $\sin(-9\pi) = 0$: $$ \frac{1}{3}\sin 0 - \frac{1}{3}\sin(-9\pi) = \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$.