ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 364

**1)** $f(x) = 2x + 3$, $M(1; 2)$ Найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$: $$ F(x) = \int (2x + 3)\,dx = x^2 + 3x + C $$ Так как график первообразной проходит через точку $M(1; 2)$, подставим её координаты в уравнение $F(x) = y$: $$ 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2 $$ $$ 4 + C = 2 \implies C = -2 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = x^2 + 3x - 2 $$ **Ответ:** $F(x) = x^2 + 3x - 2$. --- **2)** $f(x) = 4x - 1$, $M(-1; 3)$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int (4x - 1)\,dx = 2x^2 - x + C $$ Используем условие прохождения графика через точку $M(-1; 3)$: $$ 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + C = 3 $$ $$ 2 + 1 + C = 3 $$ $$ 3 + C = 3 \implies C = 0 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = 2x^2 - x $$ **Ответ:** $F(x) = 2x^2 - x$. --- **3)** $f(x) = \sqrt{x + 2}$, $M(2; -3)$ Представим функцию в виде степени $f(x) = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$ и найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int (x + 2)^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{(x + 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\sqrt{(x + 2)^3} + C $$ Подставим координаты точки $M(2; -3)$: $$ \frac{2}{3}\sqrt{(2 + 2)^3} + C = -3 $$ $$ \frac{2}{3}\sqrt{64} + C = -3 $$ $$ \frac{2}{3} \cdot 8 + C = -3 $$ $$ \frac{16}{3} + C = -3 \implies C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{(x + 2)^3} - \frac{25}{3} $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{(x + 2)^3} - 8\frac{1}{3}$. --- **4)** $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$, $M(-2; -1)$ Запишем функцию в виде $f(x) = (x + 3)^{-\frac{1}{2}}$ и найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int (x + 3)^{-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{(x + 3)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x + 3} + C $$ Подставим координаты точки $M(-2; -1)$: $$ 2\sqrt{-2 + 3} + C = -1 $$ $$ 2 \cdot 1 + C = -1 \implies C = -3 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = 2\sqrt{x + 3} - 3 $$ **Ответ:** $F(x) = 2\sqrt{x + 3} - 3$. --- **5)** $f(x) = \sin 2x$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$ Найдем общий вид первообразных по правилу интегрирования $\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$: $$ F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + C $$ Подставим координаты точки $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$: $$ -\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C = 5 $$ $$ -\frac{1}{2}\cos \pi + C = 5 $$ Так как $\cos \pi = -1$: $$ -\frac{1}{2} \cdot (-1) + C = 5 $$ $$ 0{,}5 + C = 5 \implies C = 4{,}5 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + 4{,}5 $$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + 4{,}5$. --- **6)** $f(x) = \cos 3x$, $M(0; 0)$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + C $$ Подставим координаты точки $M(0; 0)$: $$ \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) + C = 0 $$ $$ 0 + C = 0 \implies C = 0 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$. --- **7)** $f(x) = \frac{1}{x + 3}$, $M(-2; 4)$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \ln|x + 3| + C $$ Подставим координаты точки $M(-2; 4)$: $$ \ln|-2 + 3| + C = 4 $$ $$ \ln 1 + C = 4 $$ Так как $\ln 1 = 0$: $$ 0 + C = 4 \implies C = 4 $$ Для промежутка $x > -3$, которому принадлежит точка $x = -2$, выражение под знаком модуля положительно: $$ F(x) = \ln(x + 3) + 4 $$ **Ответ:** $F(x) = \ln(x + 3) + 4$. --- **8)** $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$, $M(-2; 2)$ Запишем функцию в виде степени $f(x) = (x + 1)^{-2}$ и найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int (x + 1)^{-2}\,dx = \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x + 1} + C $$ Подставим координаты точки $M(-2; 2)$: $$ -\frac{1}{-2 + 1} + C = 2 $$ $$ -\frac{1}{-1} + C = 2 $$ $$ 1 + C = 2 \implies C = 1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x) = -\frac{1}{x + 1} + 1 $$ **Ответ:** $F(x) = 1 - \frac{1}{x + 1}$.