ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 363

Для нахождения первообразных воспользуемся правилами интегрирования и формулой для степенной функции: первообразной для $x^n$ при $n \neq -1$ является $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. ### 1) $f(x) = (2x+1)\sqrt{x}$ Раскроем скобки и представим функцию в виде суммы степеней $x$ при $x > 0$: $$ f(x) = 2x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} $$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C $$ $$ F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{4}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ --- ### 2) $f(x) = (3x-2)\sqrt[3]{x}$ Раскроем скобки и представим функцию в виде разности степеней $x$ при $x > 0$: $$ f(x) = 3x \cdot x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}} $$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C $$ $$ F(x) = 3 \cdot \frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}} - 2 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{9}{7}x^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{9}{7}x^2\sqrt[3]{x} - \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} + C $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{9}{7}x^2\sqrt[3]{x} - \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} + C$ --- ### 3) $f(x) = \frac{x+4}{\sqrt[3]{x}}$ Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель при $x > 0$: $$ f(x) = \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} + 4x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 4x^{-\frac{1}{3}} $$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + 4 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C $$ $$ F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + 6x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + 6\sqrt[3]{x^2} + C $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + 6\sqrt[3]{x^2} + C$ --- ### 4) $f(x) = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$ Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель при $x > 0$: $$ f(x) = \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{1 - \frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C $$ $$ F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 6x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C$