ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 362

1) Преобразуем данную функцию, почленно разделив числитель на знаменатель: $$ f(x) = \frac{2x^{4}-4x^{3}+x}{3} = \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{3}x $$ Используя формулу первообразной для степенной функции $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, правила интегрирования суммы и вынесения постоянного множителя, находим общее семейство первообразных: $$ F(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{15}x^5 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{6}x^2 + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{15}x^5 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{6}x^2 + C$. --- 2) Почленно разделим числитель на знаменатель: $$ f(x) = \frac{6x^{3}-3x+2}{5} = \frac{6}{5}x^3 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5} $$ Находим первообразную для каждого слагаемого: $$ F(x) = \frac{6}{5} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{3}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{2}{5}x + C = \frac{3}{10}x^4 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{2}{5}x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{3}{10}x^4 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{2}{5}x + C$. --- 3) Функция определена при $x \neq 0$. Разделим каждое слагаемое числителя на $x^2$: $$ f(x) = \frac{2x^{3}-3x}{x^{2}} = 2x - \frac{3}{x} $$ Первообразной для $x$ является $\frac{x^2}{2}$, а для $\frac{1}{x}$ — функция $\ln|x|$: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3\ln|x| + C = x^2 - 3\ln|x| + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = x^2 - 3\ln|x| + C$. --- 4) Функция определена при $x \neq 0$. Почленно разделим числитель на $x^3$: $$ f(x) = \frac{3x^{4}+5x^{2}}{x^{3}} = 3x + \frac{5}{x} $$ Находим первообразную: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 5\ln|x| + C = \frac{3}{2}x^2 + 5\ln|x| + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + 5\ln|x| + C$. --- 5) Раскроем скобки в выражении функции: $$ f(x) = 3x(2-x^{2}) = 6x - 3x^3 $$ Находим первообразную: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = 3x^2 - \frac{3}{4}x^4 + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 3x^2 - \frac{3}{4}x^4 + C$. --- 6) Раскроем скобки: $$ f(x) = 2x(1-x) = 2x - 2x^2 $$ Находим первообразную: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C$. --- 7) Перемножим двучлены и приведем подобные слагаемые: $$ f(x) = (1+2x)(x-3) = x - 3 + 2x^2 - 6x = 2x^2 - 5x - 3 $$ Находим первообразную по правилу суммы: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$. --- 8) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ f(x) = (2x-3)(2+3x) = 4x + 6x^2 - 6 - 9x = 6x^2 - 5x - 6 $$ Находим первообразную: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 6x + C = 2x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 6x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 2x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 6x + C$.