ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 305

1) $f(x) = \cos x, \quad -\pi < x < \pi$ Найдём первую и вторую производные функции: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ $$ f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x $$ Приравняем вторую производную к нулю для нахождения критических точек второго рода: $$ -\cos x = 0 \iff \cos x = 0 $$ На интервале $(-\pi; \pi)$ уравнение имеет два корня: $$ x_1 = -\frac{\pi}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} $$ Определим знак второй производной $f''(x) = -\cos x$ на интервалах: - при $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$: $\cos x < 0 \implies f''(x) > 0$ (график вогнут / выпукл вниз); - при $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$: $\cos x > 0 \implies f''(x) < 0$ (график выпукл / выпукл вверх); - при $x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$: $\cos x < 0 \implies f''(x) > 0$ (график вогнут / выпукл вниз). При переходе через точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, следовательно, обе точки являются точками перегиба. Вычислим значения функции в этих точках: $$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ (точки перегиба: $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$). --- 2) $f(x) = x^5 - 80x^2$ Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём первую и вторую производные: $$ f'(x) = 5x^4 - 160x $$ $$ f''(x) = 20x^3 - 160 $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ 20x^3 - 160 = 0 \iff x^3 = 8 \iff x = 2 $$ Исследуем знак $f''(x) = 20(x^3 - 8) = 20(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ в окрестности точки $x = 2$: - при $x < 2$: $f''(x) < 0$ (график выпукл вверх); - при $x > 2$: $f''(x) > 0$ (график выпукл вниз). При переходе через точку $x = 2$ вторая производная меняет знак, значит, $x = 2$ — точка перегиба. Найдём значение функции в этой точке: $$ f(2) = 2^5 - 80 \cdot 2^2 = 32 - 80 \cdot 4 = 32 - 320 = -288 $$ Ответ: $x = 2$ (точка перегиба: $(2; -288)$). --- 3) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём первую и вторую производные: $$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $$ $$ f''(x) = 6x - 4 $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ 6x - 4 = 0 \iff x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ Исследуем знак $f''(x)$ в окрестности найденной точки: - при $x < \frac{2}{3}$: $f''(x) < 0$ (график выпукл вверх); - при $x > \frac{2}{3}$: $f''(x) > 0$ (график выпукл вниз). Так как знак $f''(x)$ меняется, $x = \frac{2}{3}$ — точка перегиба. Найдём значение функции в этой точке: $$ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} = \frac{8 - 24 + 18}{27} = \frac{2}{27} $$ Ответ: $x = \frac{2}{3}$ (точка перегиба: $\left(\frac{2}{3}; \frac{2}{27}\right)$). --- 4) $f(x) = \sin x - \frac{1}{4}\sin 2x, \quad -\pi < x < \pi$ Найдём первую и вторую производные: $$ f'(x) = \cos x - \frac{1}{4} \cdot 2\cos 2x = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x $$ $$ f''(x) = -\sin x - \frac{1}{2} \cdot (-2\sin 2x) = -\sin x + \sin 2x $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, разложим вторую производную на множители: $$ f''(x) = -\sin x + 2\sin x \cos x = \sin x(2\cos x - 1) $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ \sin x(2\cos x - 1) = 0 \iff \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{1}{2} $$ На интервале $(-\pi; \pi)$: - $\sin x = 0 \implies x_1 = 0$; - $\cos x = \frac{1}{2} \implies x_2 = -\frac{\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{\pi}{3}$. Точки $-\frac{\pi}{3}$, $0$, $\frac{\pi}{3}$ разбивают интервал $(-\pi; \pi)$ на четыре промежутка. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них: - при $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{3}\right)$: $\sin x < 0$ и $2\cos x - 1 < 0 \implies f''(x) > 0$; - при $x \in \left(-\frac{\pi}{3}; 0\right)$: $\sin x < 0$ и $2\cos x - 1 > 0 \implies f''(x) < 0$; - при $x \in \left(0; \frac{\pi}{3}\right)$: $\sin x > 0$ и $2\cos x - 1 > 0 \implies f''(x) > 0$; - при $x \in \left(\frac{\pi}{3}; \pi\right)$: $\sin x > 0$ и $2\cos x - 1 < 0 \implies f''(x) < 0$. В каждой из точек $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ вторая производная меняет знак, следовательно, все три точки являются точками перегиба. Найдём значения функции в этих точках: $$ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{8} $$ $$ f(0) = \sin 0 - \frac{1}{4}\sin 0 = 0 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ (точки перегиба: $\left(-\frac{\pi}{3}; -\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$, $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$).