ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 303

1) $f(x) = \sin^2 x$ Найдем первую производную по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x $$ Найдем вторую производную как производную от первой производной: $$ f''(x) = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x $$ Ответ: $f''(x) = 2\cos 2x$. --- 2) $f(x) = x^3 \sin x$ Найдем первую производную по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x $$ Найдем вторую производную, дифференцируя каждое слагаемое как произведение: $$ (3x^2 \sin x)' = (3x^2)' \sin x + 3x^2 (\sin x)' = 6x \sin x + 3x^2 \cos x $$ $$ (x^3 \cos x)' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x $$ Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $$ f''(x) = 6x \sin x + 3x^2 \cos x + 3x^2 \cos x - x^3 \sin x = (6x - x^3)\sin x + 6x^2 \cos x $$ Ответ: $f''(x) = (6x - x^3)\sin x + 6x^2 \cos x$. --- 3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - x + 1$ Дифференцируем многочлен почленно: $$ f'(x) = (x^4)' + (3x^2)' - (x)' + (1)' = 4x^3 + 6x - 1 $$ Найдем вторую производную: $$ f''(x) = (4x^3)' + (6x)' - (1)' = 12x^2 + 6 $$ Ответ: $f''(x) = 12x^2 + 6$. --- 4) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x + 6$ Дифференцируем функцию: $$ f'(x) = (x^4)' - (3x^3)' + (5x)' + (6)' = 4x^3 - 9x^2 + 5 $$ Дифференцируем полученный результат еще раз: $$ f''(x) = (4x^3)' - (9x^2)' + (5)' = 12x^2 - 18x $$ Ответ: $f''(x) = 12x^2 - 18x$. --- 5) $f(x) = e^{\sin x}$ Найдем первую производную по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cos x $$ Найдем вторую производную по формуле производной произведения: $$ f''(x) = (e^{\sin x} \cos x)' = (e^{\sin x})' \cos x + e^{\sin x} (\cos x)' $$ $$ f''(x) = (e^{\sin x} \cos x) \cdot \cos x + e^{\sin x} (-\sin x) = e^{\sin x} \cos^2 x - e^{\sin x} \sin x = e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x) $$ Ответ: $f''(x) = e^{\sin x}(\cos^2 x - \sin x)$. --- 6) $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ Найдем первую производную по формуле производной сложного логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$: $$ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1} $$ Найдем вторую производную по правилу дифференцирования дроби $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f''(x) = \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(2x)' \cdot (x^2 + 1) - 2x \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ $$ f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} $$ Ответ: $f''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$.