ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 306

1) $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$ Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдём первую производную функции, используя формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' \cdot e^x + (x^2 - 3x + 2) \cdot (e^x)' $$ $$ f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 2)e^x = (x^2 - x - 1)e^x $$ Найдём вторую производную: $$ f''(x) = (x^2 - x - 1)' \cdot e^x + (x^2 - x - 1) \cdot (e^x)' $$ $$ f''(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 1)e^x = (x^2 + x - 2)e^x $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $$ Получаем: $$ f''(x) = (x + 2)(x - 1)e^x $$ Так как $e^x > 0$ при всех действительных $x$, знак второй производной определяется знаком произведения $(x + 2)(x - 1)$. Приравняем вторую производную к нулю: $$ (x + 2)(x - 1)e^x = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ Определим знаки $f''(x)$ методом интервалов: - на интервале $(-\infty; -2)$: $f''(x) > 0$, следовательно, функция выпукла вниз; - на интервале $(-2; 1)$: $f''(x) < 0$, следовательно, функция выпукла вверх; - на интервале $(1; +\infty)$: $f''(x) > 0$, следовательно, функция выпукла вниз. **Ответ:** выпукла вверх на интервале $(-2; 1)$; выпукла вниз на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(1; +\infty)$. --- 2) $f(x) = x^3 - 6x \ln x$ Область определения функции задаётся условием $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$. Найдём первую производную: $$ f'(x) = (x^3)' - 6 \cdot (x \ln x)' = 3x^2 - 6 \left( (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' \right) $$ $$ f'(x) = 3x^2 - 6 \left( 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \right) = 3x^2 - 6 \ln x - 6 $$ Найдём вторую производную: $$ f''(x) = (3x^2 - 6 \ln x - 6)' = 6x - \frac{6}{x} $$ Приведём к общему знаменателю: $$ f''(x) = \frac{6x^2 - 6}{x} = \frac{6(x^2 - 1)}{x} = \frac{6(x - 1)(x + 1)}{x} $$ Учитывая, что $x \in (0; +\infty)$, множители $x$ и $(x + 1)$ строго положительны. Значит, знак $f''(x)$ совпадает со знаком выражения $(x - 1)$. Приравняем $f''(x)$ к нулю при $x > 0$: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Определим знаки $f''(x)$ на области определения: - на интервале $(0; 1)$: $f''(x) < 0$, следовательно, функция выпукла вверх; - на интервале $(1; +\infty)$: $f''(x) > 0$, следовательно, функция выпукла вниз. **Ответ:** выпукла вверх на интервале $(0; 1)$; выпукла вниз на интервале $(1; +\infty)$.