ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 308

### 1) $y = x^3 - 3x^2 + 4$ **1. Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$ (функция определена при всех действительных значениях $x$). **2. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 $$ Точка пересечения: $(0; 4)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 $$ Заметим, что $x = -1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Разложим многочлен на множители: $$ x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0 $$ Отсюда $x = -1$ или $x = 2$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$ (в точке $(2; 0)$ график касается оси $Ox$, так как корень имеет кратность 2). **3. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = 2 $$ Определим знаки производной на промежутках: - на промежутке $(-\infty; 0)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на промежутке $(0; 2)$: $y' < 0$, функция убывает; - на промежутке $(2; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Точки экстремума: - $x_{\max} = 0$, $y_{\max} = y(0) = 4$ — точка локального максимума $(0; 4)$; - $x_{\min} = 2$, $y_{\min} = y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 0$ — точка локального минимума $(2; 0)$. **4. Построение графика:** Для построения графика на координатной плоскости отметим: - точки пересечения с осями: $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(2; 0)$; - точку максимума: $(0; 4)$; - точку минимума: $(2; 0)$; - дополнительную точку: при $x = 3$, $y = 27 - 27 + 4 = 4$, то есть $(3; 4)$. График плавно возрастает от $-\infty$ до точки максимума $(0; 4)$, затем убывает до точки минимума $(2; 0)$, касается в ней оси $Ox$ и далее неограниченно возрастает к $+\infty$. --- ### 2) $y = 2 + 3x - x^3$ **1. Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. **2. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 2 + 3 \cdot 0 - 0^3 = 2 $$ Точка пересечения: $(0; 2)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ -x^3 + 3x + 2 = 0 \iff x^3 - 3x - 2 = 0 $$ Заметим, что $x = -1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Разложим многочлен на множители: $$ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2) = (x + 1)^2(x - 2) = 0 $$ Отсюда $x = -1$ (кратности 2) или $x = 2$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ (касание) и $(2; 0)$. **3. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2 = 3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3(1 - x)(1 + x) = 0 \implies x_1 = -1,\quad x_2 = 1 $$ Определим знаки производной на промежутках: - на промежутке $(-\infty; -1)$: $y' < 0$, функция убывает; - на промежутке $(-1; 1)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на промежутке $(1; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает. Точки экстремума: - $x_{\min} = -1$, $y_{\min} = y(-1) = 2 - 3 + 1 = 0$ — точка локального минимума $(-1; 0)$; - $x_{\max} = 1$, $y_{\max} = y(1) = 2 + 3 - 1 = 4$ — точка локального максимума $(1; 4)$. **4. Построение графика:** Отметим опорные точки: - $(-1; 0)$ — локальный минимум и касание с осью $Ox$; - $(0; 2)$ — пересечение с осью $Oy$; - $(1; 4)$ — локальный максимум; - $(2; 0)$ — пересечение с осью $Ox$; - дополнительную точку: при $x = -2$, $y = 2 + 3(-2) - (-8) = 4$, то есть $(-2; 4)$. График плавно убывает из $+\infty$ до минимума $(-1; 0)$, затем возрастает до максимума $(1; 4)$, после чего убывает через точку $(2; 0)$ в $-\infty$. --- ### 3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$ **1. Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. **2. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0 $$ Точка пересечения: $(0; 0)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ -x^3 + 4x^2 - 4x = 0 \iff -x(x^2 - 4x + 4) = 0 \iff -x(x - 2)^2 = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x = 2$ (кратности 2). Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(2; 0)$ (в точке $(2; 0)$ график касается оси $Ox$). **3. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4 $$ Приравняем производную к нулю: $$ -3x^2 + 8x - 4 = 0 \iff 3x^2 - 8x + 4 = 0 $$ $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3},\quad x_2 = \frac{8 + 4}{6} = 2 $$ Определим знаки производной $y' = -3\left(x - \frac{2}{3}\right)(x - 2)$: - на промежутке $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$: $y' < 0$, функция убывает; - на промежутке $\left(\frac{2}{3}; 2\right)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на промежутке $(2; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает. Точки экстремума: - $x_{\min} = \frac{2}{3}$, $$ y_{\min} = y\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} - \frac{8}{3} = \frac{-8 + 48 - 72}{27} = -\frac{32}{27} = -1\frac{5}{27} \approx -1{,}19 $$ Точка минимума: $\left(\frac{2}{3}; -\frac{32}{27}\right)$. - $x_{\max} = 2$, $y_{\max} = y(2) = -8 + 16 - 8 = 0$ — точка максимума $(2; 0)$. **4. Построение графика:** Отметим опорные точки: - $(0; 0)$ — начало координат, пересечение с осями; - $\left(\frac{2}{3}; -1\frac{5}{27}\right)$ — точка локального минимума; - $(1; -1)$ — дополнительная точка: $y(1) = -1 + 4 - 4 = -1$; - $(2; 0)$ — точка локального максимума и касания оси $Ox$; - $(3; -3)$ — дополнительная точка: $y(3) = -27 + 36 - 12 = -3$. График опускается из $+\infty$ через начало координат до минимума $\left(\frac{2}{3}; -\frac{32}{27}\right)$, затем возрастает до точки касания $(2; 0)$, после чего убывает в $-\infty$. --- ### 4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ **1. Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. **2. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0 $$ Точка пересечения: $(0; 0)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \iff x(x^2 + 6x + 9) = 0 \iff x(x + 3)^2 = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x = -3$ (кратности 2). Точки пересечения: $(-3; 0)$ (касание) и $(0; 0)$. **3. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$ y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x + 3)(x + 1) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3(x + 3)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -3,\quad x_2 = -1 $$ Определим знаки производной на промежутках: - на промежутке $(-\infty; -3)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на промежутке $(-3; -1)$: $y' < 0$, функция убывает; - на промежутке $(-1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Точки экстремума: - $x_{\max} = -3$, $y_{\max} = y(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$ — точка локального максимума $(-3; 0)$; - $x_{\min} = -1$, $y_{\min} = y(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$ — точка локального минимума $(-1; -4)$. **4. Построение графика:** Отметим опорные точки: - $(-4; -4)$ — дополнительная точка: $y(-4) = -64 + 96 - 36 = -4$; - $(-3; 0)$ — точка максимума и касания оси $Ox$; - $(-2; -2)$ — дополнительная точка: $y(-2) = -8 + 24 - 18 = -2$; - $(-1; -4)$ — точка минимума; - $(0; 0)$ — пересечение с осями координат; - $(1; 16)$ — дополнительная точка. График возрастает из $-\infty$ до точки $(-3; 0)$, касается в ней оси $Ox$, затем убывает до минимума $(-1; -4)$, после чего возрастает, проходя через начало координат $(0; 0)$, неограниченно в $+\infty$.