ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 302

Так как ветви рассматриваемых парабол направлены вниз и параболы касаются оси $Ox$, вершина каждой такой параболы лежит на оси $Ox$. Следовательно, уравнение параболы имеет вид: $$ y = a(x - x_0)^2 $$ где $a < 0$, а $(x_0; 0)$ — координаты вершины (точки касания с осью $Ox$). 1. Определим точки пересечения параболы с осями координат и расстояния от них до начала координат: — С осью $Ox$ парабола имеет единственную общую точку $A(x_0; 0)$. Расстояние от начала координат $O(0; 0)$ до этой точки равно: $$ d_1 = |x_0| $$ — С осью $Oy$ парабола пересекается при $x = 0$: $y(0) = a(0 - x_0)^2 = ax_0^2$. Координаты точки пересечения — $B(0; ax_0^2)$. Поскольку $a < 0$, ордината неположительна ($ax_0^2 \le 0$), и расстояние от начала координат до точки $B$ равно: $$ d_2 = |ax_0^2| = -ax_0^2 $$ Тогда сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат равна: $$ S = d_1 + d_2 = |x_0| - ax_0^2 $$ 2. Используем условие касания параболы и прямой $y = \frac{x}{2} - 3$. Прямая и парабола имеют ровно одну общую точку, поэтому уравнение $$ a(x - x_0)^2 = \frac{x}{2} - 3 $$ должно иметь единственный корень. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ a(x^2 - 2x_0 x + x_0^2) - \frac{1}{2}x + 3 = 0 $$ $$ ax^2 - \left(2ax_0 + \frac{1}{2}\right)x + (ax_0^2 + 3) = 0 $$ Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю: $$ D = \left(2ax_0 + \frac{1}{2}\right)^2 - 4a(ax_0^2 + 3) = 0 $$ $$ 4a^2 x_0^2 + 2ax_0 + \frac{1}{4} - 4a^2 x_0^2 - 12a = 0 $$ $$ 2ax_0 - 12a + \frac{1}{4} = 0 $$ $$ 2a(x_0 - 6) = -\frac{1}{4} $$ $$ a(x_0 - 6) = -\frac{1}{8} $$ Так как $a < 0$, то: $$ x_0 - 6 = -\frac{1}{8a} > 0 \implies x_0 > 6 $$ Выразим коэффициент $a$ через $x_0$: $$ a = -\frac{1}{8(x_0 - 6)} $$ 3. Так как $x_0 > 6 > 0$, модуль раскрывается со знаком «плюс»: $|x_0| = x_0$. Подставим выражение для $a$ в формулу суммы расстояний $S$: $$ S(x_0) = x_0 - \left(-\frac{1}{8(x_0 - 6)}\right)x_0^2 = x_0 + \frac{x_0^2}{8(x_0 - 6)} $$ Пусть $u = x_0 - 6$, тогда $u > 0$ и $x_0 = u + 6$. Подставим $x_0 = u + 6$: $$ S = u + 6 + \frac{(u + 6)^2}{8u} = u + 6 + \frac{u^2 + 12u + 36}{8u} $$ $$ S = u + 6 + \frac{u}{8} + \frac{12}{8} + \frac{36}{8u} = \frac{9}{8}u + \frac{9}{2u} + \frac{15}{2} $$ По неравенству Коши для положительных чисел $\frac{9}{8}u$ и $\frac{9}{2u}$: $$ \frac{9}{8}u + \frac{9}{2u} \ge 2\sqrt{\frac{9}{8}u \cdot \frac{9}{2u}} = 2\sqrt{\frac{81}{16}} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2} $$ Наименьшее значение достигается при равенстве слагаемых: $$ \frac{9}{8}u = \frac{9}{2u} \implies u^2 = 4 $$ С учетом $u > 0$ получаем $u = 2$. 4. Находим параметры искомой параболы: $$ x_0 = u + 6 = 2 + 6 = 8 $$ $$ a = -\frac{1}{8(8 - 6)} = -\frac{1}{16} $$ Запишем уравнение параболы: $$ y = -\frac{1}{16}(x - 8)^2 $$ или в стандартном виде: $$ y = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4 $$ Ответ: $y = -\frac{1}{16}(x - 8)^2$ (или $y = -\frac{1}{16}x^2 + x - 4$).