ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 304

**1)** Дана функция $f(x) = x^5 - 10x^2 + 3x + 1$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Для нахождения интервалов выпуклости исследуем знак второй производной функции: — если $f''(x) > 0$ на интервале, то функция выпукла вниз; — если $f''(x) < 0$ на интервале, то функция выпукла вверх. 1. Найдём первую производную: $$ f'(x) = (x^5 - 10x^2 + 3x + 1)' = 5x^4 - 20x + 3 $$ 2. Найдём вторую производную: $$ f''(x) = (5x^4 - 20x + 3)' = 20x^3 - 20 $$ Разложим выражение на множители: $$ f''(x) = 20(x^3 - 1) = 20(x - 1)(x^2 + x + 1) $$ 3. Найдём точки, в которых вторая производная обращается в нуль: $$ 20(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ квадратный трёхчлен $x^2 + x + 1 > 0$ (дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, старший коэффициент положителен), то: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ 4. Определим знак второй производной $f''(x)$ на полученных интервалах: - На интервале $(-\infty; 1)$: при $x = 0$ получаем $f''(0) = -20 < 0$, следовательно, функция выпукла вверх. - На интервале $(1; +\infty)$: при $x = 2$ получаем $f''(2) = 20(8 - 1) = 140 > 0$, следовательно, функция выпукла вниз. **Ответ:** Функция выпукла вверх на интервале $(-\infty; 1)$; функция выпукла вниз на интервале $(1; +\infty)$. --- **2)** Дана функция $f(x) = x^4 - 6x^2 + 3x + 4$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 1. Найдём первую производную: $$ f'(x) = (x^4 - 6x^2 + 3x + 4)' = 4x^3 - 12x + 3 $$ 2. Найдём вторую производную: $$ f''(x) = (4x^3 - 12x + 3)' = 12x^2 - 12 $$ Разложим выражение на множители: $$ f''(x) = 12(x^2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1) $$ 3. Приравняем вторую производную к нулю: $$ 12(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 4. Определим знак второй производной $f''(x)$ методом интервалов: - На интервале $(-\infty; -1)$: при $x = -2$ имеем $f''(-2) = 12((-2)^2 - 1) = 36 > 0$, следовательно, функция выпукла вниз. - На интервале $(-1; 1)$: при $x = 0$ имеем $f''(0) = -12 < 0$, следовательно, функция выпукла вверх. - На интервале $(1; +\infty)$: при $x = 2$ имеем $f''(2) = 12(2^2 - 1) = 36 > 0$, следовательно, функция выпукла вниз. **Ответ:** Функция выпукла вверх на интервале $(-1; 1)$; функция выпукла вниз на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.