ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 300

Пусть прямая с угловым коэффициентом $k$ проходит через точку $A(1; 2)$. Её уравнение имеет вид: $$ y - 2 = k(x - 1) $$ $$ y = kx + 2 - k $$ Прямая должна отсекать от первого координатного угла треугольник, образованный осями координат и самой прямой. Это означает, что прямая пересекает положительные полуоси $Ox$ и $Oy$. Следовательно, угловой коэффициент должен быть отрицательным: $k < 0$. Найдем точки пересечения прямой с осями координат: 1. С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = 2 - k $$ Так как $k < 0$, значение $y = 2 - k > 0$. 2. С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ 0 = kx + 2 - k \implies kx = k - 2 \implies x = \frac{k - 2}{k} = 1 - \frac{2}{k} $$ Так как $k < 0$, значение $x = 1 - \frac{2}{k} > 0$. Треугольник является прямоугольным с катетами, равными отсекаемым отрезкам на осях координат. Его площадь вычисляется по формуле: $$ S(k) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{2}{k}\right)(2 - k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{k - 2}{k} \cdot (-(k - 2)) = -\frac{(k - 2)^2}{2k} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ S(k) = -\frac{k^2 - 4k + 4}{2k} = -\frac{k}{2} + 2 - \frac{2}{k}, \quad k \in (-\infty; 0) $$ Найдем значение $k$, при котором площадь принимает наименьшее значение. Для этого найдем производную функции $S(k)$: $$ S'(k) = \left(-\frac{k}{2} + 2 - \frac{2}{k}\right)' = -\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ -\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2} = 0 \implies \frac{2}{k^2} = \frac{1}{2} \implies k^2 = 4 $$ Так как $k < 0$, получаем критическую точку: $$ k = -2 $$ Определим знаки производной на промежутках: - при $k \in (-\infty; -2)$ значение $S'(k) < 0$ (функция $S(k)$ убывает); - при $k \in (-2; 0)$ значение $S'(k) > 0$ (функция $S(k)$ возрастает). Следовательно, точка $k = -2$ является точкой минимума функции $S(k)$, и площадь отсекаемого треугольника при этом значении будет наименьшей. Ответ: $-2$.