ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 299

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, равна $a$, а его высота равна $h$ ($a > 0$, $h > 0$). Прямоугольный параллелепипед вписан в сферу радиуса $R$, следовательно, его диагональ $d$ равна диаметру сферы: $$ d = 2R $$ По формуле длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: $$ d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2 $$ Тогда: $$ 2a^2 + h^2 = (2R)^2 = 4R^2 $$ Выразим площадь основания $S_{осн} = a^2$ через высоту $h$ и радиус $R$: $$ a^2 = \frac{4R^2 - h^2}{2} = 2R^2 - \frac{h^2}{2} $$ Поскольку высота параллелепипеда положительна и не может превышать диаметр сферы, $h \in (0; 2R)$. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: $$ V(h) = a^2 \cdot h = \left(2R^2 - \frac{h^2}{2}\right) h = 2R^2 h - \frac{h^3}{2} $$ Для нахождения наибольшего значения объёма найдём производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $$ V'(h) = \left(2R^2 h - \frac{h^3}{2}\right)' = 2R^2 - \frac{3}{2}h^2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2R^2 - \frac{3}{2}h^2 = 0 $$ $$ \frac{3}{2}h^2 = 2R^2 $$ $$ h^2 = \frac{4R^2}{3} $$ Так как $h > 0$, получаем критическую точку: $$ h = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}R $$ Определим знаки производной на интервале $(0; 2R)$: - при $0 < h < \frac{2R}{\sqrt{3}}$ производная $V'(h) > 0$, функция возрастает; - при $\frac{2R}{\sqrt{3}} < h < 2R$ производная $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ является точкой максимума функции $V(h)$. Найдём значение $a$: $$ a^2 = \frac{4R^2 - \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2}{2} = \frac{4R^2 - \frac{4R^2}{3}}{2} = \frac{\frac{8R^2}{3}}{2} = \frac{4R^2}{3} $$ $$ a = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}R $$ Так как длина стороны основания $a$ и высота $h$ равны ($a = h = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$), данный параллелепипед является кубом. Наибольший объём равен: $$ V_{наиб} = a^3 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}R^3 $$ Ответ: куб с ребром $\frac{2\sqrt{3}}{3}R$ (наибольший объём равен $\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$).