ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 235

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ **1)** $f(x) = e^{\sin^2 x + \sin x}$, $x_0 = \pi$ 1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$: $$ f(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} = e^{0^2 + 0} = e^0 = 1 $$ 2. Найдем производную функции $f'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = e^{\sin^2 x + \sin x} \cdot (\sin^2 x + \sin x)' = e^{\sin^2 x + \sin x} \cdot (2\sin x \cos x + \cos x) $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$: $$ f'(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} \cdot (2\sin \pi \cos \pi + \cos \pi) = e^0 \cdot (2 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1)) = 1 \cdot (-1) = -1 $$ 4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной: $$ y = 1 + (-1)(x - \pi) $$ $$ y = -x + \pi + 1 $$ **Ответ:** $y = -x + \pi + 1$ --- **2)** $f(x) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$, $x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$: $$ f(1) = \frac{1}{1^2}\sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1 $$ 2. Представим функцию в виде $f(x) = x^{-2}\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)$ и найдем ее производную по формуле производной произведения: $$ f'(x) = (x^{-2})' \sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) + x^{-2} \left(\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)\right)' $$ $$ f'(x) = -2x^{-3}\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) + x^{-2}\cos\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)' $$ $$ f'(x) = -\frac{2}{x^3}\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) + \frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) \cdot (\pi x) = -\frac{2}{x^3}\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) + \frac{\pi}{x}\cos\left(\frac{\pi x^2}{2}\right) $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = -\frac{2}{1^3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{1}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cdot 1 + \pi \cdot 0 = -2 $$ 4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $$ y = 1 + (-2)(x - 1) $$ $$ y = 1 - 2x + 2 $$ $$ y = -2x + 3 $$ **Ответ:** $y = -2x + 3$