ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 232

По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k_{\text{кас}} = f'(x_0)$. Касательная параллельна прямой $y = kx$ (или совпадает с ней), если их угловые коэффициенты равны: $$ f'(x_0) = k $$ Найдем абсциссы $x_0$ точек касания из этого уравнения, а затем соответствующие ординаты $y_0 = f(x_0)$. ### 1) $f(x) = x^2 - 3x + 4$, $k = 1$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3 $$ 2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = 1$: $$ 2x - 3 = 1 $$ $$ 2x = 4 \implies x = 2 $$ 3. Найдем ординату точки: $$ y = f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 4 - 6 + 4 = 2 $$ **Ответ:** $(2; 2)$. --- ### 2) $f(x) = x(x + 1)$, $k = 3$. Преобразуем функцию: $f(x) = x^2 + x$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = (x^2 + x)' = 2x + 1 $$ 2. Составим уравнение касания при $k = 3$: $$ 2x + 1 = 3 $$ $$ 2x = 2 \implies x = 1 $$ 3. Найдем ординату точки: $$ y = f(1) = 1 \cdot (1 + 1) = 2 $$ **Ответ:** $(1; 2)$. --- ### 3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x$, $k = 1$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x\right)' = x^2 + 2x - 2 $$ 2. Приравняем производную к $k = 1$: $$ x^2 + 2x - 2 = 1 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. 3. Найдем ординаты для найденных абсцисс: - при $x_1 = -3$: $$ y_1 = f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = -9 + 9 + 6 = 6 $$ - при $x_2 = 1$: $$ y_2 = f(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 1 - 2 = -\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $(-3; 6)$, $\left(1; -\frac{2}{3}\right)$. --- ### 4) $f(x) = e^x + e^{-x}$, $k = \frac{3}{2}$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = (e^x + e^{-x})' = e^x - e^{-x} $$ 2. Приравняем производную к $k = \frac{3}{2}$: $$ e^x - e^{-x} = \frac{3}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2e^x$ (так как $e^x > 0$): $$ 2(e^x)^2 - 3e^x - 2 = 0 $$ Пусть $t = e^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 3t - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $$ Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Возвращаемся к замене: $$ e^x = 2 \implies x = \ln 2 $$ 3. Найдем значение функции в этой точке: $$ y = f(\ln 2) = e^{\ln 2} + e^{-\ln 2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$ **Ответ:** $\left(\ln 2; \frac{5}{2}\right)$. --- ### 5) $f(x) = \sqrt{3x + 1}$, $k = \frac{3}{4}$. Область определения: $3x + 1 \ge 0 \implies x \ge -\frac{1}{3}$. 1. Найдем производную сложной функции при $x > -\frac{1}{3}$: $$ f'(x) = (\sqrt{3x + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot (3x + 1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} $$ 2. Приравняем производную к $k = \frac{3}{4}$: $$ \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} = \frac{3}{4} $$ $$ 2\sqrt{3x + 1} = 4 $$ $$ \sqrt{3x + 1} = 2 $$ $$ 3x + 1 = 4 \implies 3x = 3 \implies x = 1 $$ 3. Найдем ординату точки: $$ y = f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ **Ответ:** $(1; 2)$. --- ### 6) $f(x) = x + \sin x$, $k = 0$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x $$ 2. Приравняем производную к $k = 0$: $$ 1 + \cos x = 0 $$ $$ \cos x = -1 $$ $$ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 3. Найдем соответствующие значения функции: $$ y = f(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + 0 = \pi + 2\pi n $$ **Ответ:** $(\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.