ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 233

По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен тангенсу угла наклона касательной к оси $Ox$: $$ k = f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha $$ По условию угол наклона равен $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Вычислим значение тангенса этого угла: $$ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 $$ Следовательно, $y'(x_0) = -1$. Найдем производную функции $y = \frac{x + 2}{x - 2}$ по правилу дифференцирования частного при $x \neq 2$: $$ y' = \frac{(x + 2)'(x - 2) - (x + 2)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 2) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 2}{(x - 2)^2} = -\frac{4}{(x - 2)^2} $$ Приравняем найденную производную к значению углового коэффициента: $$ -\frac{4}{(x - 2)^2} = -1 $$ $$ \frac{4}{(x - 2)^2} = 1 $$ $$ (x - 2)^2 = 4 $$ Отсюда получаем два возможных значения абсциссы точки касания: $$ x - 2 = 2 \implies x_1 = 4 $$ $$ x - 2 = -2 \implies x_2 = 0 $$ Оба значения входят в область определения функции ($x \neq 2$). Найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию: 1) При $x_1 = 4$: $$ y_1 = \frac{4 + 2}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Получаем точку $(4; 3)$. 2) При $x_2 = 0$: $$ y_2 = \frac{0 + 2}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1 $$ Получаем точку $(0; -1)$. Ответ: $(4; 3)$ и $(0; -1)$.