ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 236

**1)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} 3x - 4 & \text{при } x \neq 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases} $$ **Построение графика:** * При $x \neq 3$ графиком является прямая $y = 3x - 4$ с выколотой точкой при $x = 3$. Найдём координаты этой выколотой точки: $y = 3 \cdot 3 - 4 = 5$, то есть точка $(3; 5)$ выколота. Для построения прямой отметим ещё две точки: при $x = 0 \implies y = -4$ — точка $(0; -4)$; при $x = 2 \implies y = 2$ — точка $(2; 2)$. * При $x = 3$ значение функции равно $2$, то есть графику принадлежит изолированная точка $(3; 2)$. **Исследование на непрерывность:** * Функция $y = 3x - 4$ непрерывна на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$ как линейная функция. * Исследуем точку $x = 3$: $$ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (3x - 4) = 3 \cdot 3 - 4 = 5 $$ $$ f(3) = 2 $$ Так как $\lim_{x \to 3} f(x) \neq f(3)$ ($5 \neq 2$), в точке $x = 3$ функция терпит разрыв. **Ответ:** функция не является непрерывной на всей числовой прямой (разрыв в точке $x = 3$). --- **2)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} 5 - 2x & \text{при } x \neq 1, \\ -1 & \text{при } x = 1. \end{cases} $$ **Построение графика:** * При $x \neq 1$ графиком является прямая $y = 5 - 2x$ с выколотой точкой при $x = 1$. Координаты выколотой точки: $y = 5 - 2 \cdot 1 = 3$, то есть точка $(1; 3)$ выколота. Для проведения прямой возьмём точки: при $x = 0 \implies y = 5$ — точка $(0; 5)$; при $x = 2 \implies y = 1$ — точка $(2; 1)$. * При $x = 1$ значение функции равно $-1$, то есть графику принадлежит точка $(1; -1)$. **Исследование на непрерывность:** * Функция $y = 5 - 2x$ непрерывна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$ как линейная функция. * Исследуем точку $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (5 - 2x) = 5 - 2 \cdot 1 = 3 $$ $$ f(1) = -1 $$ Так как $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ ($3 \neq -1$), в точке $x = 1$ функция терпит разрыв. **Ответ:** функция не является непрерывной на всей числовой прямой (разрыв в точке $x = 1$). --- **3)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{при } x \geq 0, \\ x & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** * При $x < 0$ графиком является луч прямой $y = x$, расположенный в III координатной четверти, идущий к началу координат $(0; 0)$ (точка $(0; 0)$ для этого луча не включена). Контрольная точка: $(-2; -2)$. * При $x \geq 0$ графиком является ветвь параболы $y = \sqrt{x}$, выходящая из точки $(0; 0)$ в I четверть. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$. **Исследование на непрерывность:** * При $x < 0$ функция $f(x) = x$ непрерывна. * При $x > 0$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна. * Исследуем точку стыка $x = 0$: Левосторонний предел: $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0 $$ Правосторонний предел: $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $$ Значение функции в точке: $$ f(0) = \sqrt{0} = 0 $$ Так как $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x = 0$. **Ответ:** функция является непрерывной на всей числовой прямой. --- **4)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} |x - 1| & \text{при } x < -1, \\ x^2 & \text{при } x \geq -1. \end{cases} $$ **Построение графика:** * Так как при $x < -1$ выражение $x - 1 < 0$, то по определению модуля $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Графиком при $x < -1$ является открытый луч прямой $y = 1 - x$. Найдём граничное значение: при $x \to -1^-$ значение $y \to 1 - (-1) = 2$ (точка $(-1; 2)$ выколота). Дополнительные точки луча: при $x = -2 \implies y = 3$; при $x = -3 \implies y = 4$. * При $x \geq -1$ графиком является часть параболы $y = x^2$. Граничная точка: $(-1; 1)$ (включена). Вершина параболы: $(0; 0)$. Дополнительные точки: $(1; 1)$, $(2; 4)$. **Исследование на непрерывность:** * При $x < -1$ функция $f(x) = 1 - x$ непрерывна. * При $x > -1$ функция $f(x) = x^2$ непрерывна. * Исследуем точку стыка $x = -1$: Левосторонний предел: $$ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} |x - 1| = |-1 - 1| = |-2| = 2 $$ Правосторонний предел: $$ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1 $$ Значение функции в точке: $$ f(-1) = (-1)^2 = 1 $$ Так как $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x)$ ($2 \neq 1$), односторонние пределы не совпадают, следовательно, в точке $x = -1$ функция имеет разрыв (скачок). **Ответ:** функция не является непрерывной на всей числовой прямой (разрыв в точке $x = -1$).