ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 234

Касательные к графикам функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в точках с общей абсциссой параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть значения производных этих функций в данной точке совпадают: $$ f'(x) = g'(x) $$ 1. Найдем производные заданных функций: $$ f'(x) = (x^3 - x - 1)' = 3x^2 - 1 $$ $$ g'(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4 $$ 2. Приравняем производные и найдем абсциссу точек касания: $$ 3x^2 - 1 = 6x - 4 $$ $$ 3x^2 - 6x + 3 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$ $$ (x - 1)^2 = 0 $$ $$ x = 1 $$ 3. Найдем координаты точек касания для каждой из кривых: * Для кривой $y = f(x)$: $$ f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 $$ Точка касания: $(1; -1)$. * Для кривой $y = g(x)$: $$ g(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 1 = 3 - 4 + 1 = 0 $$ Точка касания: $(1; 0)$. 4. Угловой коэффициент касательных при $x = 1$: $$ k = f'(1) = g'(1) = 3 \cdot 1^2 - 1 = 2 $$ 5. Составим уравнения касательных по формуле $y = y_0 + k(x - x_0)$: * Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $(1; -1)$: $$ y = -1 + 2(x - 1) $$ $$ y = -1 + 2x - 2 $$ $$ y = 2x - 3 $$ * Касательная к графику функции $g(x)$ в точке $(1; 0)$: $$ y = 0 + 2(x - 1) $$ $$ y = 2x - 2 $$ Так как угловые коэффициенты прямых равны ($k = 2$), а свободные члены различны ($-3 \ne -2$), полученные касательные параллельны. Ответ: точки $(1; -1)$ и $(1; 0)$; уравнения касательных: $y = 2x - 3$ и $y = 2x - 2$.