ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 237

1) Пусть $f(x) = 2x^4 - x^3 + 3x + 4$. Применим правила дифференцирования суммы и формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = (2x^4)' - (x^3)' + (3x)' + (4)' $$ $$ f'(x) = 2 \cdot 4x^3 - 3x^2 + 3 \cdot 1 + 0 = 8x^3 - 3x^2 + 3 $$ Ответ: $8x^3 - 3x^2 + 3$. --- 2) Пусть $f(x) = -x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$. Дифференцируем каждое слагаемое: $$ f'(x) = (-x^5)' + (2x^3)' - (3x^2)' - (1)' $$ $$ f'(x) = -5x^4 + 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 0 = -5x^4 + 6x^2 - 6x $$ Ответ: $-5x^4 + 6x^2 - 6x$. --- 3) Пусть $f(x) = 6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$. Представим корни и дроби в виде степеней с рациональными и отрицательными показателями: $$ f(x) = 6x^{\frac{1}{3}} + x^{-2} $$ Находим производную: $$ f'(x) = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + (-2)x^{-2 - 1} = 2x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-3} $$ Запишем результат через корни и дроби: $$ f'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3} $$ Ответ: $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$. --- 4) Пусть $f(x) = \frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$. Перепишем функцию в виде степеней: $$ f(x) = 2x^{-3} - 8x^{\frac{1}{4}} $$ Находим производную: $$ f'(x) = 2 \cdot (-3)x^{-3 - 1} - 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - 1} = -6x^{-4} - 2x^{-\frac{3}{4}} $$ Запишем результат через корни и дроби: $$ f'(x) = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} $$ Ответ: $-\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$. --- 5) Пусть $f(x) = (2x + 3)^8$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(g(kx + b))' = k \cdot g'(kx + b)$: $$ f'(x) = 8(2x + 3)^7 \cdot (2x + 3)' = 8(2x + 3)^7 \cdot 2 = 16(2x + 3)^7 $$ Ответ: $16(2x + 3)^7$. --- 6) Пусть $f(x) = (4 - 3x)^7$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = 7(4 - 3x)^6 \cdot (4 - 3x)' = 7(4 - 3x)^6 \cdot (-3) = -21(4 - 3x)^6 $$ Ответ: $-21(4 - 3x)^6$. --- 7) Пусть $f(x) = \sqrt[3]{3x - 2}$. Запишем выражение в виде степени: $$ f(x) = (3x - 2)^{\frac{1}{3}} $$ Находим производную сложной функции: $$ f'(x) = \frac{1}{3}(3x - 2)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot (3x - 2)' = \frac{1}{3}(3x - 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x - 2)^{-\frac{2}{3}} $$ Вернемся к записи в виде корня: $$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 2)^2}} $$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 2)^2}}$. --- 8) Пусть $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x}}$. Запишем выражение в виде степени: $$ f(x) = (1 - 4x)^{-\frac{1}{2}} $$ Дифференцируем как сложную функцию: $$ f'(x) = -\frac{1}{2}(1 - 4x)^{-\frac{1}{2} - 1} \cdot (1 - 4x)' = -\frac{1}{2}(1 - 4x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-4) = 2(1 - 4x)^{-\frac{3}{2}} $$ Запишем результат в виде дроби с корнем: $$ f'(x) = \frac{2}{\sqrt{(1 - 4x)^3}} = \frac{2}{(1 - 4x)\sqrt{1 - 4x}} $$ Ответ: $\frac{2}{(1 - 4x)\sqrt{1 - 4x}}$. --- 9) Пусть $f(x) = \sin 0,5x$. Используем формулу $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$: $$ f'(x) = \cos(0,5x) \cdot (0,5x)' = 0,5\cos 0,5x $$ Ответ: $0,5\cos 0,5x$. --- 10) Пусть $f(x) = \cos(-3x)$. Так как косинус — чётная функция, $\cos(-3x) = \cos(3x)$. Найдём производную: $$ f'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x $$ *(Или по правилу дифференцирования сложной функции напрямую: $f'(x) = -\sin(-3x) \cdot (-3x)' = -\sin(-3x) \cdot (-3) = 3\sin(-3x) = -3\sin 3x$.)* Ответ: $-3\sin 3x$.