ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 230

1) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x + 4}$. Для этого составим и решим уравнение: $$ 8 - x = 4\sqrt{x + 4} $$ Учитывая, что подкоренное выражение неотрицательно ($x \ge -4$) и левая часть неотрицательна ($8 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 8$), возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (8 - x)^2 = (4\sqrt{x + 4})^2 $$ $$ 64 - 16x + x^2 = 16(x + 4) $$ $$ 64 - 16x + x^2 = 16x + 64 $$ $$ x^2 - 32x = 0 $$ $$ x(x - 32) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 32$. Корень $x = 32$ не удовлетворяет условию $x \le 8$. Следовательно, графики пересекаются в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Найдем угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точке $x_0 = 0$: $$ f(x) = 8 - x \implies f'(x) = -1 \implies k_1 = f'(0) = -1 $$ $$ g(x) = 4\sqrt{x + 4} \implies g'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 4}} = \frac{2}{\sqrt{x + 4}} \implies k_2 = g'(0) = \frac{2}{\sqrt{0 + 4}} = 1 $$ Так как произведение угловых коэффициентов равно $-1$: $$ k_1 \cdot k_2 = -1 \cdot 1 = -1 $$ касательные взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$). Ответ: $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$). --- 2) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{2}(1 + x)^2$ и $y = \frac{1}{2}(1 - x)^2$: $$ \frac{1}{2}(1 + x)^2 = \frac{1}{2}(1 - x)^2 $$ $$ (1 + x)^2 = (1 - x)^2 $$ $$ 1 + 2x + x^2 = 1 - 2x + x^2 $$ $$ 4x = 0 \implies x_0 = 0 $$ Найдем производные функций и вычислим угловые коэффициенты касательных при $x_0 = 0$: $$ f(x) = \frac{1}{2}(1 + x)^2 \implies f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(1 + x) = 1 + x \implies k_1 = f'(0) = 1 + 0 = 1 $$ $$ g(x) = \frac{1}{2}(1 - x)^2 \implies g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(1 - x) \cdot (1 - x)' = -(1 - x) = x - 1 \implies k_2 = g'(0) = 0 - 1 = -1 $$ Так как $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$, касательные перпендикулярны. Ответ: $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$). --- 3) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \ln(1 + x)$ и $y = \ln(1 - x)$ при условии $1 + x > 0$ и $1 - x > 0$, то есть $x \in (-1; 1)$: $$ \ln(1 + x) = \ln(1 - x) $$ $$ 1 + x = 1 - x $$ $$ 2x = 0 \implies x_0 = 0 $$ Значение $x_0 = 0$ принадлежит области определения. Найдем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$: $$ f(x) = \ln(1 + x) \implies f'(x) = \frac{1}{1 + x} \implies k_1 = f'(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1 $$ $$ g(x) = \ln(1 - x) \implies g'(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (1 - x)' = -\frac{1}{1 - x} \implies k_2 = g'(0) = -\frac{1}{1 - 0} = -1 $$ Поскольку $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$, касательные взаимно перпендикулярны. Ответ: $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$). --- 4) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = e^x$ и $y = e^{-x}$: $$ e^x = e^{-x} $$ $$ x = -x \implies 2x = 0 \implies x_0 = 0 $$ Найдем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$: $$ f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x \implies k_1 = f'(0) = e^0 = 1 $$ $$ g(x) = e^{-x} \implies g'(x) = -e^{-x} \implies k_2 = g'(0) = -e^0 = -1 $$ Так как $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$, графики функций пересекаются под прямым углом. Ответ: $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$).