ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 170

1) Найдем производную функции: $$ y = \frac{x^3 + x^2 + x}{x + 1} $$ Для дифференцирования дроби применим правило производной частного: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Найдем производные числителя и знаменателя: $$ u' = (x^3 + x^2 + x)' = 3x^2 + 2x + 1 $$ $$ v' = (x + 1)' = 1 $$ Подставим найденные выражения в формулу: $$ y' = \frac{(3x^2 + 2x + 1)(x + 1) - (x^3 + x^2 + x) \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (3x^2 + 2x + 1)(x + 1) = 3x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 = 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ y' = \frac{3x^3 + 5x^2 + 3x + 1 - x^3 - x^2 - x}{(x + 1)^2} = \frac{2x^3 + 4x^2 + 2x + 1}{(x + 1)^2} $$ 2) Найдем производную функции: $$ y = \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x - 1} $$ Используем правило производной частного: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Найдем производные числителя и знаменателя: $$ u' = (2x^3 + 3x^2 + 1)' = 6x^2 + 6x $$ $$ v' = (x - 1)' = 1 $$ Подставим полученные выражения в формулу: $$ y' = \frac{(6x^2 + 6x)(x - 1) - (2x^3 + 3x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (6x^2 + 6x)(x - 1) = 6x^3 - 6x^2 + 6x^2 - 6x = 6x^3 - 6x $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ y' = \frac{6x^3 - 6x - 2x^3 - 3x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x - 1)^2} $$ Ответ: 1) $\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x + 1}{(x + 1)^2}$; 2) $\frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x - 1)^2}$.