ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 168

**1)** Дана функция: $$ f(x) = (2x - 3)^2(x - 1) $$ Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции: $$ f'(x) = \left((2x - 3)^2\right)' \cdot (x - 1) + (2x - 3)^2 \cdot (x - 1)' $$ Вычислим производные сомножителей: $$ \left((2x - 3)^2\right)' = 2(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = 2(2x - 3) \cdot 2 = 4(2x - 3) $$ $$ (x - 1)' = 1 $$ Подставим полученные выражения в формулу производной: $$ f'(x) = 4(2x - 3)(x - 1) + (2x - 3)^2 $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = 4(2 \cdot 1 - 3)(1 - 1) + (2 \cdot 1 - 3)^2 = 4 \cdot (-1) \cdot 0 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1 $$ **Ответ:** $f'(1) = 1$. --- **2)** Дана функция: $$ f(x) = (x + 1)^3(x + 2) $$ Найдем производную функции $f'(x)$, применяя правило дифференцирования произведения: $$ f'(x) = \left((x + 1)^3\right)' \cdot (x + 2) + (x + 1)^3 \cdot (x + 2)' $$ Вычислим производные сомножителей: $$ \left((x + 1)^3\right)' = 3(x + 1)^2 \cdot (x + 1)' = 3(x + 1)^2 \cdot 1 = 3(x + 1)^2 $$ $$ (x + 2)' = 1 $$ Тогда: $$ f'(x) = 3(x + 1)^2(x + 2) + (x + 1)^3 $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = 3(1 + 1)^2(1 + 2) + (1 + 1)^3 = 3 \cdot 2^2 \cdot 3 + 2^3 = 3 \cdot 4 \cdot 3 + 8 = 36 + 8 = 44 $$ **Ответ:** $f'(1) = 44$.