ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 172

Формула (8) дифференцирования сложной степенной функции имеет вид: $$ (u^n)' = n u^{n-1} \cdot u' $$ где $u = u(x)$ — дифференцируемая функция, $n \in \mathbb{N}$. 1) Найдем производную функции $y = (2x - 1)^3$. Пусть $u = 2x - 1$, тогда $n = 3$. Находим производную внутренней функции: $u' = (2x - 1)' = 2$. По формуле (8): $$ y' = 3(2x - 1)^{3 - 1} \cdot (2x - 1)' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2 $$ Ответ: $6(2x - 1)^2$. 2) Найдем производную функции $y = (x + 3)^2$. Пусть $u = x + 3$, тогда $n = 2$. Находим производную внутренней функции: $u' = (x + 3)' = 1$. По формуле (8): $$ y' = 2(x + 3)^{2 - 1} \cdot (x + 3)' = 2(x + 3) \cdot 1 = 2(x + 3) $$ Ответ: $2(x + 3)$. 3) Найдем производную функции $y = (3x^2 - 2x)^2$. Пусть $u = 3x^2 - 2x$, тогда $n = 2$. Находим производную внутренней функции: $u' = (3x^2 - 2x)' = 6x - 2$. По формуле (8): $$ y' = 2(3x^2 - 2x)^{2 - 1} \cdot (3x^2 - 2x)' = 2(3x^2 - 2x)(6x - 2) $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ y' = 2 \cdot x(3x - 2) \cdot 2(3x - 1) = 4x(3x - 2)(3x - 1) $$ Ответ: $2(3x^2 - 2x)(6x - 2)$ или $4x(3x - 2)(3x - 1)$. 4) Найдем производную функции $y = (x^3 - x^2)^3$. Пусть $u = x^3 - x^2$, тогда $n = 3$. Находим производную внутренней функции: $u' = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$. По формуле (8): $$ y' = 3(x^3 - x^2)^{3 - 1} \cdot (x^3 - x^2)' = 3(x^3 - x^2)^2 (3x^2 - 2x) $$ Разложим на множители для упрощения записи: $$ y' = 3 \cdot (x^2(x - 1))^2 \cdot x(3x - 2) = 3x^4(x - 1)^2 \cdot x(3x - 2) = 3x^5(x - 1)^2(3x - 2) $$ Ответ: $3(x^3 - x^2)^2(3x^2 - 2x)$ или $3x^5(x - 1)^2(3x - 2)$.