ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 167

1) Найдём производную функции: $$ f(x) = (x-3)^2 x^3 $$ Преобразуем функцию, раскрыв скобки: $$ f(x) = (x^2 - 6x + 9)x^3 = x^5 - 6x^4 + 9x^3 $$ Дифференцируем каждое слагаемое, используя формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правило вынесения постоянного множителя: $$ f'(x) = (x^5 - 6x^4 + 9x^3)' = (x^5)' - 6(x^4)' + 9(x^3)' $$ $$ f'(x) = 5x^4 - 6 \cdot 4x^3 + 9 \cdot 3x^2 = 5x^4 - 24x^3 + 27x^2 $$ Ответ: $5x^4 - 24x^3 + 27x^2$ (или $x^2(x-3)(5x-9)$). --- 2) Найдём производную функции: $$ f(x) = (x^2 - 2x)(x^3 + x) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ f(x) = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot x - 2x \cdot x^3 - 2x \cdot x = x^5 + x^3 - 2x^4 - 2x^2 = x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2 $$ Применим правила дифференцирования: $$ f'(x) = (x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2)' = (x^5)' - 2(x^4)' + (x^3)' - 2(x^2)' $$ $$ f'(x) = 5x^4 - 2 \cdot 4x^3 + 3x^2 - 2 \cdot 2x = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x $$ Ответ: $5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x$. --- 3) Найдём производную функции: $$ f(x) = (x+3)x^3 $$ Раскроем скобки: $$ f(x) = x \cdot x^3 + 3 \cdot x^3 = x^4 + 3x^3 $$ Найдём производную: $$ f'(x) = (x^4 + 3x^3)' = (x^4)' + 3(x^3)' = 4x^3 + 3 \cdot 3x^2 = 4x^3 + 9x^2 $$ Ответ: $4x^3 + 9x^2$. --- 4) Найдём производную функции: $$ f(x) = (x-4) \cdot 3x^2 $$ Раскроем скобки: $$ f(x) = 3x^3 - 12x^2 $$ Найдём производную: $$ f'(x) = (3x^3 - 12x^2)' = 3(x^3)' - 12(x^2)' = 3 \cdot 3x^2 - 12 \cdot 2x = 9x^2 - 24x $$ Ответ: $9x^2 - 24x$.