ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 169

1) $f(x) = \dfrac{2x - 1}{2x + 1}$ Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(2x - 1)'(2x + 1) - (2x - 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} $$ Так как $(2x - 1)' = 2$ и $(2x + 1)' = 2$, получаем: $$ f'(x) = \frac{2(2x + 1) - 2(2x - 1)}{(2x + 1)^2} = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{4}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} $$ Ответ: $\dfrac{4}{9}$. --- 2) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ Применим правило дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ Так как $(x^2 - 1)' = 2x$ и $(x^2 + 1)' = 2x$, получаем: $$ f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Ответ: $1$. --- 3) $f(x) = \dfrac{2x - 3}{5 - 4x}$ Применим правило дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(2x - 3)'(5 - 4x) - (2x - 3)(5 - 4x)'}{(5 - 4x)^2} $$ Так как $(2x - 3)' = 2$ и $(5 - 4x)' = -4$, получаем: $$ f'(x) = \frac{2(5 - 4x) - (2x - 3)(-4)}{(5 - 4x)^2} = \frac{10 - 8x + 8x - 12}{(5 - 4x)^2} = \frac{-2}{(5 - 4x)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{-2}{(5 - 4 \cdot 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2 $$ Ответ: $-2$. --- 4) $f(x) = \dfrac{2x^2}{1 - 7x}$ Применим правило дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(2x^2)'(1 - 7x) - 2x^2(1 - 7x)'}{(1 - 7x)^2} $$ Так как $(2x^2)' = 4x$ и $(1 - 7x)' = -7$, получаем: $$ f'(x) = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2(-7)}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2} $$ Вычислим значение производной при $x = 1$: $$ f'(1) = \frac{4 \cdot 1 - 14 \cdot 1^2}{(1 - 7 \cdot 1)^2} = \frac{4 - 14}{(-6)^2} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18} $$ Ответ: $-\dfrac{5}{18}$.