ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 171

### 1) $f(y) = y^2$, $y = g(x) = x + 1$ 1. **Формула сложной функции:** Подставим выражение для $g(x)$ вместо $y$ в функцию $f(y)$: $$ f(g(x)) = (x + 1)^2 $$ 2. **Область определения:** Функция $g(x) = x + 1$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция $f(y) = y^2$ также определена для всех действительных чисел. Значит, сложная функция определена при любых $x$: $$ D(f \circ g) = (-\infty; +\infty) $$ 3. **Множество значений:** Так как $x \in \mathbb{R}$, то выражение $x + 1$ принимает любые действительные значения. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \ge 0$, причём при $x = -1$ значение равно $0$. Значит: $$ E(f \circ g) = [0; +\infty) $$ **Ответ:** $f(g(x)) = (x + 1)^2$; $D = (-\infty; +\infty)$; $E = [0; +\infty)$. --- ### 2) $f(y) = \lg y$, $y = g(x) = \sqrt{x - 1}$ 1. **Формула сложной функции:** Подставим $g(x)$ вместо $y$ в функцию $f(y)$: $$ f(g(x)) = \lg \sqrt{x - 1} $$ 2. **Область определения:** Для нахождения области определения сложной функции должны выполняться условия: * Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $x - 1 \ge 0$; * Выражение под знаком логарифма строго положительно: $\sqrt{x - 1} > 0$. Объединяя эти условия, получаем: $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ Таким образом: $$ D(f \circ g) = (1; +\infty) $$ 3. **Множество значений:** При $x \in (1; +\infty)$ функция $y = \sqrt{x - 1}$ строго возрастает и принимает все положительные значения, то есть $y \in (0; +\infty)$. Логарифмическая функция при $y \in (0; +\infty)$ принимает любые действительные значения: $$ E(f \circ g) = (-\infty; +\infty) $$ **Ответ:** $f(g(x)) = \lg \sqrt{x - 1}$; $D = (1; +\infty)$; $E = (-\infty; +\infty)$. --- ### 3) $f(y) = \frac{y + 1}{y - 2}$, $y = g(x) = \log_2 x$ 1. **Формула сложной функции:** Подставим $g(x)$ вместо $y$ в функцию $f(y)$: $$ f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2} $$ 2. **Область определения:** Аргумент логарифма должен быть положителен, а знаменатель дроби не должен обращаться в нуль: $$ \begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x - 2 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x \ne 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ x \ne 4 \end{cases} $$ Значит: $$ D(f \circ g) = (0; 4) \cup (4; +\infty) $$ 3. **Множество значений:** Так как при $x \in (0; 4) \cup (4; +\infty)$ функция $y = \log_2 x$ принимает все значения из множества $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, исследуем значения дроби при $y \ne 2$: $$ f(y) = \frac{y + 1}{y - 2} = \frac{y - 2 + 3}{y - 2} = 1 + \frac{3}{y - 2} $$ Дробь $\frac{3}{y - 2}$ определена при всех $y \ne 2$ и принимает любые действительные значения, кроме нуля. Следовательно, выражение $1 + \frac{3}{y - 2}$ принимает любые действительные значения, кроме $1$: $$ E(f \circ g) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ **Ответ:** $f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$; $D = (0; 4) \cup (4; +\infty)$; $E = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. --- ### 4) $f(y) = \sqrt{y}$, $y = g(x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ 1. **Формула сложной функции:** Подставим $g(x)$ вместо $y$ в функцию $f(y)$: $$ f(g(x)) = \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}} $$ 2. **Область определения:** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: $$ \frac{x + 2}{x - 3} \ge 0, \quad x \ne 3 $$ Решим неравенство методом интервалов: * Нуль числителя: $x = -2$; * Нуль знаменателя: $x = 3$. Знаки выражения на интервалах: * при $x \in (-\infty; -2]$ выражение неотрицательно; * при $x \in (-2; 3)$ выражение отрицательно; * при $x \in (3; +\infty)$ выражение положительно. Получаем область определения: $$ D(f \circ g) = (-\infty; -2] \cup (3; +\infty) $$ 3. **Множество значений:** Преобразуем выражение $y = g(x)$: $$ y = \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{x - 3 + 5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3} $$ Определим множество значений $y$ на каждом из промежутков: * Если $x \in (-\infty; -2]$, то $x - 3 \in (-\infty; -5]$, откуда $\frac{5}{x - 3} \in [-1; 0)$. Тогда $y \in [0; 1)$. * Если $x \in (3; +\infty)$, то $x - 3 \in (0; +\infty)$, откуда $\frac{5}{x - 3} \in (0; +\infty)$. Тогда $y \in (1; +\infty)$. Объединяя полученные промежутки, находим множество значений промежуточного аргумента: $y \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Так как функция $f(y) = \sqrt{y}$ непрерывна и строго возрастает при $y \ge 0$, её значения на этом множестве составляют: $$ E(f \circ g) = [0; 1) \cup (1; +\infty) $$ **Ответ:** $f(g(x)) = \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}}$; $D = (-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$; $E = [0; 1) \cup (1; +\infty)$.