ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1094

Пусть $h$ — высота правильной треугольной призмы, вписанной в сферу радиуса $R$, где $0 < h < 2R$. Центр сферы лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры оснований. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости каждого из оснований призмы равно $\frac{h}{2}$. Основания призмы — правильные треугольники, вершины которых лежат на сфере. Окружность, описанная около основания призмы, имеет радиус $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$, радиусом описанной около основания окружности $r$ и отрезком высоты $\frac{h}{2}$, по теореме Пифагора получаем: $$ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 $$ Отсюда: $$ r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} $$ Сторона $a$ правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности $r$ по формуле $a = r\sqrt{3}$, следовательно: $$ a^2 = 3r^2 = 3\left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) $$ Площадь основания призмы равна: $$ S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) $$ Тогда объём призмы как функция от высоты $h$ имеет вид: $$ V(h) = S_{осн} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 h - \frac{h^3}{4}\right), \quad h \in (0; 2R) $$ Для нахождения наибольшего значения объёма найдём производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $$ V'(h) = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0 $$ $$ R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0 $$ $$ h^2 = \frac{4R^2}{3} $$ Учитывая, что $h > 0$: $$ h = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}R $$ Определим знаки производной на интервале $(0; 2R)$: — при $0 < h < \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ производная $V'(h) > 0$, функция возрастает; — при $\frac{2\sqrt{3}}{3}R < h < 2R$ производная $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ является точкой максимума функции $V(h)$, и при этом значении высоты объём призмы принимает наибольшее значение. Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}R$.