ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1092

Цилиндр наибольшего объёма, помещённый внутри сферы радиуса $R$, должен быть вписан в эту сферу, то есть окружности обоих его оснований лежат на поверхности сферы. Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Центр сферы совпадает с центром симметрии цилиндра. В осевом сечении цилиндр представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром сферы и равна $2R$. По теореме Пифагора: $$ (2r)^2 + h^2 = (2R)^2 $$ $$ 4r^2 + h^2 = 4R^2 $$ Пусть $x = \frac{h}{2}$ — половина высоты цилиндра, где $0 < x < R$. Тогда $h = 2x$. Выразим квадрат радиуса основания через $x$: $$ r^2 = R^2 - x^2 $$ Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим выражения для $r^2$ и $h$: $$ V(x) = \pi (R^2 - x^2) \cdot 2x = 2\pi (R^2 x - x^3) $$ Исследуем функцию $V(x)$ на наибольшее значение на интервале $(0; R)$ с помощью производной: $$ V'(x) = 2\pi (R^2 - 3x^2) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ 2\pi (R^2 - 3x^2) = 0 $$ $$ 3x^2 = R^2 $$ $$ x^2 = \frac{R^2}{3} $$ Так как $x > 0$, получаем единственную критическую точку: $$ x = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{3} $$ Определим знаки производной при переходе через эту точку: — при $0 < x < \frac{R\sqrt{3}}{3}$ производная $V'(x) > 0$, функция возрастает; — при $\frac{R\sqrt{3}}{3} < x < R$ производная $V'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $x = \frac{R\sqrt{3}}{3}$ является точкой максимума функции $V(x)$. Найдём размеры искомого цилиндра: 1. Высота цилиндра: $$ h = 2x = \frac{2R\sqrt{3}}{3} $$ 2. Радиус основания цилиндра: $$ r = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{3}} = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3} $$ 3. Наибольший объём цилиндра: $$ V_{\max} = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{2R^2}{3} \cdot \frac{2R\sqrt{3}}{3} = \frac{4\pi R^3 \sqrt{3}}{9} $$ Ответ: цилиндр с радиусом основания $r = \frac{R\sqrt{6}}{3}$, высотой $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ и объёмом $V = \frac{4\pi R^3 \sqrt{3}}{9}$.