ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1097

### 1097 #### 1) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4x - x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$. Выясним взаимное расположение графиков функций на отрезке $[0; 3]$. Вершина параболы $y = 4x - x^2$ имеет координаты: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, $y_0 = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4$. Так как наибольшее значение квадратичной функции равно $4$, а прямая $y = 5$ лежит выше ($5 > 4$), то для всех $x \in [0; 3]$ выполняется неравенство: $$ 5 > 4x - x^2 $$ Следовательно, фигура ограничена сверху прямой $y = 5$, снизу — параболой $y = 4x - x^2$, слева и справа — прямыми $x = 0$ и $x = 3$. Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{0}^{3} \left(5 - (4x - x^2)\right) dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 5) \, dx $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x\right) \right|_{0}^{3} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left(\frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3\right) - 0 = (9 - 18 + 15) - 0 = 6 $$ **Ответ:** $6$. --- #### 2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$. Выясним взаимное расположение графиков функций на отрезке $[-1; 3]$. Выделим полный квадрат в уравнении параболы: $$ y = x^2 - 2x + 8 = (x - 1)^2 + 7 $$ Наименьшее значение функции равно $7$ (при $x = 1$), что больше $6$. Значит, на отрезке $[-1; 3]$ график параболы расположен выше прямой $y = 6$: $$ x^2 - 2x + 8 > 6 $$ Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-1}^{3} \left((x^2 - 2x + 8) - 6\right) dx = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 2) \, dx $$ Найдем первообразную: $$ S = \left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x\right) \right|_{-1}^{3} $$ Вычислим значения в пределах интегрирования: $$ F(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 - 9 + 6 = 6 $$ $$ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 1 - 2 = -\frac{10}{3} $$ $$ S = F(3) - F(-1) = 6 - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{18}{3} + \frac{10}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $9\frac{1}{3}$. --- #### 3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$. На отрезке $\left[\frac{2\pi}{3}; \pi\right]$ функция $y = \sin x \ge 0$, поэтому фигура представляет собой криволинейную трапецию, прилежащую к оси абсцисс. Вычислим площадь: $$ S = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = -\cos\pi - \left(-\cos\frac{2\pi}{3}\right) $$ Так как $\cos\pi = -1$ и $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, получаем: $$ S = -(-1) + \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ **Ответ:** $\frac{1}{2}$. --- #### 4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$ функция $y = \cos x > 0$, график лежит выше оси абсцисс ($y = 0$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \sin\frac{\pi}{6} - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} = 2\sin\frac{\pi}{6} $$ Так как $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$: $$ S = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$ **Ответ:** $1$.