ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1091

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота ($R > 0$, $H > 0$). Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $2R$ и высоте цилиндра $H$. Периметр осевого сечения равен $p$: $$ 2(2R + H) = p $$ $$ 4R + 2H = p $$ Выразим высоту $H$ через радиус $R$: $$ 2H = p - 4R \implies H = \frac{p}{2} - 2R $$ Так как высота цилиндра должна быть положительной, определим допустимые значения радиуса: $$ \frac{p}{2} - 2R > 0 \implies 2R < \frac{p}{2} \implies 0 < R < \frac{p}{4} $$ Объём цилиндра вычисляется по формуле: $$ V = \pi R^2 H $$ Подставим выражение для $H$ и получим функцию объёма от переменной $R$: $$ V(R) = \pi R^2 \left(\frac{p}{2} - 2R\right) = \pi \left(\frac{p}{2} R^2 - 2R^3\right) $$ Исследуем функцию $V(R)$ на наибольшее значение на интервале $\left(0; \frac{p}{4}\right)$ с помощью производной: $$ V'(R) = \pi \left(\frac{p}{2} \cdot 2R - 2 \cdot 3R^2\right) = \pi (pR - 6R^2) = \pi R (p - 6R) $$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ \pi R (p - 6R) = 0 $$ Так как $R > 0$, получаем: $$ p - 6R = 0 \implies R = \frac{p}{6} $$ Точка $R = \frac{p}{6}$ принадлежит рассматриваемому интервалу $\left(0; \frac{p}{4}\right)$. Определим знаки производной при переходе через точку $R = \frac{p}{6}$: - при $R \in \left(0; \frac{p}{6}\right)$ производная $V'(R) > 0$, функция возрастает; - при $R \in \left(\frac{p}{6}; \frac{p}{4}\right)$ производная $V'(R) < 0$, функция убывает. Значит, $R = \frac{p}{6}$ — точка максимума, и в ней функция принимает своё наибольшее значение. Найдем высоту цилиндра при $R = \frac{p}{6}$: $$ H = \frac{p}{2} - 2 \cdot \frac{p}{6} = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{p}{6} $$ Вычислим наибольший объём цилиндра: $$ V = \pi R^2 H = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \cdot \frac{p}{6} = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216} $$ Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$.