ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1093

Пусть заданный объём консервной банки равен $V$. Консервная банка представляет собой замкнутый цилиндр с диаметром основания $D$ (радиусом $R = \frac{D}{2}$) и высотой $H$. Расход жести определяется площадью полной поверхности цилиндра $S$, состоящей из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (дна и крышки): $$ S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} $$ Выразим площади через диаметр $D$ и высоту $H$: $$ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4} $$ $$ S_{\text{бок}} = \pi D H $$ Тогда полная площадь поверхности равна: $$ S = 2 \cdot \frac{\pi D^2}{4} + \pi D H = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D H $$ Объём цилиндра выражается формулой: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{\pi D^2}{4} \cdot H $$ Так как объём $V$ постоянен, выразим высоту $H$ через диаметр $D$: $$ H = \frac{4V}{\pi D^2} $$ Подставим полученное выражение для $H$ в формулу площади поверхности: $$ S(D) = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D \cdot \frac{4V}{\pi D^2} = \frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}, \quad D > 0 $$ Исследуем функцию $S(D)$ на наименьшее значение с помощью производной: $$ S'(D) = \left(\frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}\right)' = \pi D - \frac{4V}{D^2} $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ \pi D - \frac{4V}{D^2} = 0 $$ $$ \frac{\pi D^3 - 4V}{D^2} = 0 $$ $$ \pi D^3 = 4V $$ $$ D = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}} $$ Определим знаки производной при переходе через найденную точку: * При $0 < D < \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$ производная $S'(D) < 0$, следовательно, функция $S(D)$ убывает; * При $D > \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$ производная $S'(D) > 0$, следовательно, функция $S(D)$ возрастает. Значит, точка $D = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$ является точкой минимума функции $S(D)$. Так как при наименьшем расходе жести выполняется равенство $4V = \pi D^3$, подставим это значение в выражение для высоты $H$: $$ H = \frac{4V}{\pi D^2} = \frac{\pi D^3}{\pi D^2} = D $$ Таким образом, расход жести будет наименьшим при $D = H$ (или $\frac{D}{H} = 1$). Ответ: расход жести будет наименьшим, если диаметр основания равен высоте цилиндра ($D = H$).