ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1096

### 1) $y = \sqrt{x-1}, \quad y = 3 - x, \quad y = 0$ 1. **Найдем точки пересечения графиков функций:** * Пересечение $y = \sqrt{x-1}$ и оси абсцисс ($y = 0$): $$ \sqrt{x-1} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Получаем точку $(1; 0)$. * Пересечение прямой $y = 3 - x$ и оси абсцисс ($y = 0$): $$ 3 - x = 0 \implies x = 3 $$ Получаем точку $(3; 0)$. * Пересечение кривой $y = \sqrt{x-1}$ и прямой $y = 3 - x$: $$ \sqrt{x-1} = 3 - x $$ Учитывая, что $y \ge 0$, имеем $3 - x \ge 0$, то есть $x \le 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x - 1 = (3 - x)^2 $$ $$ x - 1 = 9 - 6x + x^2 $$ $$ x^2 - 7x + 10 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Условию $x \le 3$ удовлетворяет только $x = 2$. При $x = 2$: $y = 3 - 2 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$. 2. **Вычислим площадь фигуры:** Фигура снизу ограничена осью $Ox$ ($y = 0$) на отрезке $[1; 3]$, а сверху состоит из двух участков: * на отрезке $[1; 2]$ график функции $y = \sqrt{x-1}$; * на отрезке $[2; 3]$ график функции $y = 3 - x$. Площадь фигуры равна сумме двух определенных интегралов: $$ S = \int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \, dx + \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx $$ Вычислим каждый интеграл: $$ S_1 = \int_{1}^{2} (x-1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} \right|_{1}^{2} = \frac{2}{3}(2-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1-1)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} $$ $$ S_2 = \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx = \left. \left( 3x - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{2}^{3} = \left( 3 \cdot 3 - \frac{9}{2} \right) - \left( 3 \cdot 2 - \frac{4}{2} \right) = \left( 9 - 4{,}5 \right) - (6 - 2) = 4{,}5 - 4 = 0{,}5 = \frac{1}{2} $$ Найдем общую площадь: $$ S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $$ **Ответ:** $\dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}$ --- ### 2) $y = -\frac{1}{x}, \quad y = x^2, \quad y = \frac{x^2}{8}$ 1. **Найдем точки пересечения графиков функций:** * Пересечение парабол $y = x^2$ и $y = \frac{x^2}{8}$: $$ x^2 = \frac{x^2}{8} \implies \frac{7}{8}x^2 = 0 \implies x = 0 $$ При $x = 0$: $y = 0$. Получаем точку $(0; 0)$. * Пересечение гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ и параболы $y = x^2$: $$ -\frac{1}{x} = x^2 \implies x^3 = -1 \implies x = -1 $$ При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$. * Пересечение гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ и параболы $y = \frac{x^2}{8}$: $$ -\frac{1}{x} = \frac{x^2}{8} \implies x^3 = -8 \implies x = -2 $$ При $x = -2$: $y = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$. Получаем точку $\left(-2; \frac{1}{2}\right)$. 2. **Вычислим площадь фигуры:** Все три точки пересечения лежат во второй координатной четверти и начале координат. Фигура ограничена снизу параболой $y = \frac{x^2}{8}$ на отрезке $[-2; 0]$, а сверху: * гиперболой $y = -\frac{1}{x}$ на отрезке $[-2; -1]$; * параболой $y = x^2$ на отрезке $[-1; 0]$. Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $$ S = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8} \right) dx + \int_{-1}^{0} \left( x^2 - \frac{x^2}{8} \right) dx $$ Вычислим первый интеграл: $$ S_1 = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8} \right) dx = \left. \left( -\ln|x| - \frac{x^3}{24} \right) \right|_{-2}^{-1} $$ $$ S_1 = \left( -\ln|-1| - \frac{(-1)^3}{24} \right) - \left( -\ln|-2| - \frac{(-2)^3}{24} \right) = \left( 0 + \frac{1}{24} \right) - \left( -\ln 2 + \frac{8}{24} \right) $$ $$ S_1 = \frac{1}{24} + \ln 2 - \frac{8}{24} = \ln 2 - \frac{7}{24} $$ Вычислим второй интеграл: $$ S_2 = \int_{-1}^{0} \frac{7}{8}x^2 \, dx = \left. \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{0} = \left. \left( \frac{7}{24}x^3 \right) \right|_{-1}^{0} $$ $$ S_2 = 0 - \frac{7}{24} \cdot (-1)^3 = \frac{7}{24} $$ Найдем общую площадь: $$ S = S_1 + S_2 = \left( \ln 2 - \frac{7}{24} \right) + \frac{7}{24} = \ln 2 $$ **Ответ:** $\ln 2$