ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1073

### 1) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9$ **1. Область определения функции:** Функция является многочленом, поэтому она определена при всех действительных значениях аргумента: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность и нечётность:** $$ y(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 - (-x)^2 - 3(-x) + 9 = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + 9 $$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). **3. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = \frac{1}{3}\cdot 0^3 - 0^2 - 3\cdot 0 + 9 = 9 $$ Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; 9)$. * С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $3$: $$ x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ x^2(x - 3) - 9(x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 - 9) = 0 $$ $$ (x - 3)^2(x + 3) = 0 $$ Отсюда $x_1 = -3$, $x_2 = 3$ (корень кратности $2$). Точки пересечения с осью $Ox$ — $(-3; 0)$ и $(3; 0)$. **4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:** Найдём производную функции: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9\right)' = x^2 - 2x - 3 $$ Найдём стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ $$ (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 3 $$ Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: * на промежутке $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает; * на промежутке $(-1; 3)$: $y' < 0$, функция убывает; * на промежутке $(3; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: * $x = -1$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 9 = 10\frac{2}{3} $$ Точка максимума — $\left(-1; 10\frac{2}{3}\right)$. * $x = 3$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(3) = \frac{1}{3}\cdot 27 - 9 - 9 + 9 = 0 $$ Точка минимума — $(3; 0)$. **5. Выпуклость, вогнутость и точка перегиба:** Найдём вторую производную: $$ y'' = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2 = 2(x - 1) $$ Приравняем вторую производную к нулю: $2(x - 1) = 0 \implies x = 1$. * при $x < 1$: $y'' < 0$ — график функции выпукл вверх; * при $x > 1$: $y'' > 0$ — график функции выпукл вниз. Значение функции в точке перегиба: $$ y(1) = \frac{1}{3}\cdot 1^3 - 1^2 - 3\cdot 1 + 9 = 5\frac{1}{3} $$ Точка перегиба — $\left(1; 5\frac{1}{3}\right)$. **6. Построение графика:** * Наносим характерные точки: максимум $\left(-1; 10\frac{2}{3}\right)$, минимум $(3; 0)$, перегиб $\left(1; 5\frac{1}{3}\right)$, пересечение с $Oy$ $(0; 9)$, пересечение с $Ox$ $(-3; 0)$. * При $x \to -\infty$ ветвь графика уходит в $-\infty$, при $x \to +\infty$ ветвь уходит в $+\infty$. В точке $(3; 0)$ график касается оси $Ox$, не пересекая её ниже оси. --- ### 2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9$ **1. Область определения функции:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность и нечётность:** $$ y(-x) = -(-x)^4 + 6(-x)^2 - 9 = -x^4 + 6x^2 - 9 = y(x) $$ Функция является чётной, её график симметричен относительно оси $Oy$. **3. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = -9 $$ Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -9)$. * С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ -x^4 + 6x^2 - 9 = 0 \iff -(x^4 - 6x^2 + 9) = 0 \iff -(x^2 - 3)^2 = 0 $$ $$ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} $$ Точки пересечения (касания) с осью $Ox$ — $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. Заметим, что так как $y = -(x^2 - 3)^2 \le 0$ для всех $x$, график целиком расположен в нижней полуплоскости и касается оси $Ox$. **4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:** Найдём производную: $$ y' = (-x^4 + 6x^2 - 9)' = -4x^3 + 12x = -4x(x^2 - 3) $$ Найдём стационарные точки: $$ -4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 \implies x_1 = -\sqrt{3}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \sqrt{3} $$ Определим знаки $y'$ на интервалах: * на $(-\infty; -\sqrt{3})$: $y' > 0$, функция возрастает; * на $(-\sqrt{3}; 0)$: $y' < 0$, функция убывает; * на $(0; \sqrt{3})$: $y' > 0$, функция возрастает; * на $(\sqrt{3}; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает. Следовательно: * точки максимума: $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$: $$ y_{\max} = y(\pm\sqrt{3}) = 0 $$ Точки максимума — $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. * точка минимума: $x = 0$: $$ y_{\min} = y(0) = -9 $$ Точка минимума — $(0; -9)$. **5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:** Найдём вторую производную: $$ y'' = (-4x^3 + 12x)' = -12x^2 + 12 = -12(x^2 - 1) = -12(x - 1)(x + 1) $$ Приравняем к нулю: $x = \pm 1$. * на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$: $y'' < 0$ — график выпукл вверх; * на $(-1; 1)$: $y'' > 0$ — график выпукл вниз. Значения функции в точках $x = \pm 1$: $$ y(\pm 1) = -1 + 6 - 9 = -4 $$ Точки перегиба — $(-1; -4)$ и $(1; -4)$. **6. Построение графика:** * График симметричен относительно оси $Oy$. * Имеет форму буквы «М», вершинами которой являются точки локального максимума $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$ (где график касается оси $Ox$). * Локальный минимум находится в точке $(0; -9)$, точки перегиба — $(\pm 1; -4)$. При $x \to \pm\infty$ ветви направлены вниз к $-\infty$. --- ### 3) $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ **1. Область определения функции:** Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ **2. Чётность и нечётность:** $$ y(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{-x} = \frac{x^2 + 1}{-x} = -\frac{x^2 + 1}{x} = -y(x) $$ Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. **3. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0 \notin D(y)$. * С осью $Ox$: уравнение $\frac{x^2 + 1}{x} = 0$ не имеет действительных решений, так как $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. График не пересекает ось $Ox$. **4. Асимптоты графика:** * Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$. $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x} = -\infty $$ * Наклонная асимптота: представим функцию в виде почленного деления: $$ y = x + \frac{1}{x} $$ Так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой графика при $x \to \pm\infty$. **5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:** Найдём производную: $$ y' = \left(x + \frac{1}{x}\right)' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} $$ Найдём критические точки: $$ y' = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ При $x = 0$ производная не существует (точка разрыва). Определим знаки $y'$ на интервалах области определения: * на $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает; * на $(-1; 0)$: $y' < 0$, функция убывает; * на $(0; 1)$: $y' < 0$, функция убывает; * на $(1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: * $x = -1$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(-1) = \frac{(-1)^2 + 1}{-1} = -2 $$ Точка максимума — $(-1; -2)$. * $x = 1$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(1) = \frac{1^2 + 1}{1} = 2 $$ Точка минимума — $(1; 2)$. **6. Выпуклость, вогнутость:** $$ y'' = \left(1 - x^{-2}\right)' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3} $$ * при $x < 0$: $y'' < 0$ — график выпукл вверх; * при $x > 0$: $y'' > 0$ — график выпукл вниз. Точек перегиба нет, так как $x = 0$ не входит в область определения. **7. Построение графика:** * График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. * Правая ветвь ($x > 0$): выходит из $+\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$, опускается до точки локального минимума $(1; 2)$, затем возрастает, приближаясь снизу к наклонной асимптоте $y = x$. * Левая ветвь ($x < 0$): поднимается вдоль наклонной асимптоты $y = x$ до точки локального максимума $(-1; -2)$, затем убывает вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$ в $-\infty$. --- ### 4) $y = \frac{x^2 + 2}{2x}$ **1. Область определения функции:** $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ **2. Чётность и нечётность:** $$ y(-x) = \frac{(-x)^2 + 2}{2(-x)} = -\frac{x^2 + 2}{2x} = -y(x) $$ Функция является нечётной, график симметричен относительно точки $(0; 0)$. **3. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: нет, так как $x \neq 0$. * С осью $Ox$: уравнение $x^2 + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Пересечений с осями координат нет. **4. Асимптоты графика:** * Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$. $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 2}{2x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 2}{2x} = -\infty $$ * Наклонная асимптота: разделим почленно числитель на знаменатель: $$ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x} $$ Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$, прямая $y = \frac{1}{2}x$ является наклонной асимптотой при $x \to \pm\infty$. **5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:** Найдём производную: $$ y' = \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{2x^2} = \frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{2x^2} $$ Найдём критические точки ($y' = 0$): $$ x^2 - 2 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = \sqrt{2} $$ Определим знаки производной на интервалах: * на $(-\infty; -\sqrt{2})$: $y' > 0$, функция возрастает; * на $(-\sqrt{2}; 0)$: $y' < 0$, функция убывает; * на $(0; \sqrt{2})$: $y' < 0$, функция убывает; * на $(\sqrt{2}; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: * $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2}{2(-\sqrt{2})} = \frac{4}{-2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} $$ Точка максимума — $(-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$. * $x = \sqrt{2}$ — точка минимума: $$ y_{\min} = y(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$ Точка минимума — $(\sqrt{2}; \sqrt{2})$. **6. Выпуклость, вогнутость:** $$ y'' = \left(\frac{1}{2} - x^{-2}\right)' = \frac{2}{x^3} $$ * при $x < 0$: $y'' < 0$ — график выпукл вверх; * при $x > 0$: $y'' > 0$ — график выпукл вниз. Точек перегиба нет. **7. Построение графика:** * График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. * Проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = 0$ (ось ординат) и наклонную прямую $y = \frac{1}{2}x$. * При $x > 0$: ветвь убывает от $+\infty$ вдоль оси $Oy$ до точки локального минимума $(\sqrt{2}; \sqrt{2}) \approx (1{,}41; 1{,}41)$, затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y = \frac{1}{2}x$. * При $x < 0$: ветвь возрастает от асимптоты $y = \frac{1}{2}x$ до точки локального максимума $(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}) \approx (-1{,}41; -1{,}41)$, затем убывает в $-\infty$ вдоль оси $Oy$.