ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1071

**1071.** **1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2$** 1. Область определения функции: $$ D(f) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Чётность / нечётность: $f(-x) = 4(-x)^3 + 6(-x)^2 = -4x^3 + 6x^2 \neq f(x)$ и $\neq -f(x)$. Функция не является ни чётной, ни нечётной. 3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: при $y = 0$, $$ 4x^3 + 6x^2 = 0 \iff 2x^2(2x + 3) = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x = -1{,}5$. Точки: $(0; 0)$ и $(-1{,}5; 0)$. 4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1{,}5; 0) \cup (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1{,}5)$. 5. Производная, промежутки монотонности и точки экстремума: $$ f'(x) = (4x^3 + 6x^2)' = 12x^2 + 12x = 12x(x + 1) $$ Критические точки: $$ 12x(x + 1) = 0 \iff x_1 = -1, \quad x_2 = 0 $$ Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(-1; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Точки экстремума: - Точка максимума: $x_{\text{max}} = -1$, значение максимума: $$ f(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1)^2 = -4 + 6 = 2 $$ Точка максимума: $(-1; 2)$. - Точка минимума: $x_{\text{min}} = 0$, значение минимума: $$ f(0) = 0 $$ Точка минимума: $(0; 0)$. 6. Точка перегиба: $$ f''(x) = (12x^2 + 12x)' = 24x + 12 = 12(2x + 1) $$ $f''(x) = 0 \iff x = -0{,}5$. При переходе через $x = -0{,}5$ вторая производная меняет знак: - при $x < -0{,}5$: $f''(x) < 0$ (график функции выпуклый вверх); - при $x > -0{,}5$: $f''(x) > 0$ (график функции выпуклый вниз). Значение функции в точке перегиба: $$ f(-0{,}5) = 4(-0{,}5)^3 + 6(-0{,}5)^2 = 4(-0{,}125) + 6(0{,}25) = -0{,}5 + 1{,}5 = 1 $$ Точка перегиба: $(-0{,}5; 1)$. 7. Построение графика: График проходит через точки $(-1{,}5; 0)$, $(-1; 2)$ — максимум, $(-0{,}5; 1)$ — перегиб, $(0; 0)$ — минимум. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$; при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. --- **2) $f(x) = 3x^2 - 2x^3$** 1. Область определения: $$ D(f) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Чётность / нечётность: $f(-x) = 3(-x)^2 - 2(-x)^3 = 3x^2 + 2x^3$. Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). 3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$: $x = 0 \implies y = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $y = 0 \implies 3x^2 - 2x^3 = 0 \iff x^2(3 - 2x) = 0 \iff x = 0$ или $x = 1{,}5$. Точки: $(0; 0)$ и $(1{,}5; 0)$. 4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1{,}5)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1{,}5; +\infty)$. 5. Производная, монотонность, экстремумы: $$ f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 6x - 6x^2 = 6x(1 - x) $$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Знаки производной: - на интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(0; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Точки экстремума: - Точка минимума: $x_{\text{min}} = 0$, $$ f(0) = 0 $$ Точка минимума: $(0; 0)$. - Точка максимума: $x_{\text{max}} = 1$, $$ f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 1 $$ Точка максимума: $(1; 1)$. 6. Точка перегиба: $$ f''(x) = (6x - 6x^2)' = 6 - 12x = 6(1 - 2x) $$ $f''(x) = 0 \iff x = 0{,}5$. - при $x < 0{,}5$: $f''(x) > 0$ (выпукла вниз); - при $x > 0{,}5$: $f''(x) < 0$ (выпукла вверх). Значение функции в точке перегиба: $$ f(0{,}5) = 3(0{,}25) - 2(0{,}125) = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 $$ Точка перегиба: $(0{,}5; 0{,}5)$. 7. Построение графика: График проходит через $(0; 0)$ — минимум, $(0{,}5; 0{,}5)$ — перегиб, $(1; 1)$ — максимум, $(1{,}5; 0)$ — пересечение с осью $Ox$. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$; при $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. --- **3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$** 1. Область определения: $$ D(f) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Чётность / нечётность: $$ f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 - (-x) = -\frac{1}{3}x^3 + x = -\left(\frac{1}{3}x^3 - x\right) = -f(x) $$ Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$: $x = 0 \implies y = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $y = 0 \implies \frac{1}{3}x^3 - x = 0 \iff x\left(\frac{1}{3}x^2 - 1\right) = 0 \iff x = 0$ или $x = \pm\sqrt{3}$. Точки: $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; 0)$ (где $\sqrt{3} \approx 1{,}73$). 4. Производная, монотонность, экстремумы: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - x\right)' = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Знаки производной: - на интервале $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Точки экстремума: - Точка максимума: $x_{\text{max}} = -1$, $$ f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} $$ Точка максимума: $\left(-1; \frac{2}{3}\right)$. - Точка минимума: $x_{\text{min}} = 1$, $$ f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} $$ Точка минимума: $\left(1; -\frac{2}{3}\right)$. 5. Точка перегиба: $$ f''(x) = (x^2 - 1)' = 2x $$ $f''(x) = 0 \iff x = 0$. - при $x < 0$: $f''(x) < 0$ (выпукла вверх); - при $x > 0$: $f''(x) > 0$ (выпукла вниз). Точка перегиба: $(0; 0)$. 6. Построение графика: График проходит через точки $(-\sqrt{3}; 0)$, $\left(-1; \frac{2}{3}\right)$ — максимум, $(0; 0)$ — перегиб, $\left(1; -\frac{2}{3}\right)$ — минимум, $(\sqrt{3}; 0)$. --- **4) $f(x) = x^4 - \frac{1}{2}x^2$** 1. Область определения: $$ D(f) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Чётность / нечётность: $$ f(-x) = (-x)^4 - \frac{1}{2}(-x)^2 = x^4 - \frac{1}{2}x^2 = f(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$: $x = 0 \implies y = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $y = 0 \implies x^4 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \iff x^2\left(x^2 - \frac{1}{2}\right) = 0 \iff x = 0$ или $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)$ (где $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$). 4. Производная, монотонность, экстремумы: $$ f'(x) = \left(x^4 - \frac{1}{2}x^2\right)' = 4x^3 - x = x(4x^2 - 1) = x(2x - 1)(2x + 1) $$ Критические точки: $x_1 = -0{,}5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0{,}5$. Знаки производной: - на интервале $(-\infty; -0{,}5)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(-0{,}5; 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(0; 0{,}5)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(0{,}5; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Точки экстремума: - Точки минимума: $x = \pm 0{,}5$, $$ f(\pm 0{,}5) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16} $$ Точки минимума: $\left(-0{,}5; -\frac{1}{16}\right)$ и $\left(0{,}5; -\frac{1}{16}\right)$. - Точка максимума: $x = 0$, $$ f(0) = 0 $$ Точка максимума: $(0; 0)$. 5. Точки перегиба: $$ f''(x) = (4x^3 - x)' = 12x^2 - 1 $$ $$ 12x^2 - 1 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{12} \iff x = \pm\frac{1}{2\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{6} \approx \pm 0{,}29 $$ - при $|x| > \frac{\sqrt{3}}{6}$: $f''(x) > 0$ (выпукла вниз); - при $|x| < \frac{\sqrt{3}}{6}$: $f''(x) < 0$ (выпукла вверх). Значения функции в точках перегиба: $$ f\left(\pm\frac{1}{\sqrt{12}}\right) = \left(\frac{1}{12}\right)^2 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{144} - \frac{1}{24} = -\frac{5}{144} \approx -0{,}035 $$ Точки перегиба: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}; -\frac{5}{144}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}; -\frac{5}{144}\right)$. 6. Построение графика: График имеет $W$-образную форму, симметричен относительно оси $Oy$, проходит через точки: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)$, $\left(-0{,}5; -\frac{1}{16}\right)$ — минимум, $(0; 0)$ — локальный максимум, $\left(0{,}5; -\frac{1}{16}\right)$ — минимум, $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)$. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$.