ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1070

**1. Исследование функции и построение графика** Дана функция: $$ y = x^3 - 5x^2 - x + 5 $$ **1) Область определения:** Функция является многочленом, поэтому она определена при всех действительных значениях переменной: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2) Точки пересечения графика с осями координат:** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 - 0 + 5 = 5 $$ Точка пересечения: $(0; 5)$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0 $$ Разложим многочлен на множители методом группировки: $$ x^2(x - 5) - (x - 5) = 0 $$ $$ (x - 5)(x^2 - 1) = 0 $$ $$ (x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Отсюда получаем нули функции: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$. Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$. **3) Промежутки монотонности и точки экстремума:** Найдем производную функции: $$ y' = (x^3 - 5x^2 - x + 5)' = 3x^2 - 10x - 1 $$ Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ 3x^2 - 10x - 1 = 0 $$ $$ D_1 = (-5)^2 - 3 \cdot (-1) = 25 + 3 = 28 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{28}}{3} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3} $$ Приближенные значения корней ($\sqrt{7} \approx 2{,}65$): $$ x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0{,}1 $$ $$ x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3{,}43 $$ Определим знаки производной методом интервалов: * На интервале $\left(-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}\right)$ производная $y' > 0$ — функция возрастает; * На интервале $\left(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}\right)$ производная $y' < 0$ — функция убывает; * На интервале $\left(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty\right)$ производная $y' > 0$ — функция возрастает. Следовательно: * $x_{max} = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0{,}1$ — точка максимума; $$ y_{max} \approx y(-0{,}1) \approx 5{,}05 $$ * $x_{min} = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3{,}43$ — точка минимума; $$ y_{min} \approx y(3{,}43) \approx -16{,}9 $$ **4) Построение графика:** Для более точного построения графика составим таблицу значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $3{,}43$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-21$ | $0$ | $\approx 5{,}05$ | $5$ | $0$ | $-9$ | $-16$ | $\approx -16{,}9$ | $-15$ | $0$ | По полученным опорным точкам и промежуткам возрастания/убывания строим плавную кубическую параболу: 1. График выходит из третьей четверти, проходит через точку $(-1; 0)$, поднимается до локального максимума $(\approx -0{,}1; \approx 5{,}05)$. 2. Пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 5)$ и ось $Ox$ в точке $(1; 0)$, опускаясь до локального минимума $(\approx 3{,}43; \approx -16{,}9)$. 3. Проходит через точки $(4; -15)$ и $(5; 0)$, после чего уходит в бесконечность в первой четверти. --- **2. Нахождение уравнения касательной в точке с абсциссой $x_0 = 4$** Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ 1) Вычислим значение функции в точке $x_0 = 4$: $$ y(4) = 4^3 - 5 \cdot 4^2 - 4 + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15 $$ 2) Вычислим значение производной при $x_0 = 4$: $$ y'(4) = 3 \cdot 4^2 - 10 \cdot 4 - 1 = 48 - 40 - 1 = 7 $$ 3) Подставим полученные значения в уравнение касательной: $$ y = -15 + 7(x - 4) $$ $$ y = -15 + 7x - 28 $$ $$ y = 7x - 43 $$ **Ответ:** уравнение касательной: $y = 7x - 43$.