ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1076

Пусть сторона основания пирамиды равна $AC = x$. По условию задачи $1 \leqslant x \leqslant 8$. Так как пирамида $SABC$ — правильная, в её основании лежит правильный треугольник $ABC$. Площадь основания вычисляется по формуле: $$ S_{осн} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} $$ По условию сумма высоты пирамиды $SO$ и стороны основания равна $9$: $$ SO + AC = 9 \implies SO = 9 - x $$ Выразим объём пирамиды как функцию от переменной $x$: $$ V(x) = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (9 - x) = \frac{\sqrt{3}}{12} (9x^2 - x^3) $$ Исследуем функцию $V(x)$ на наибольшее значение на отрезке $[1; 8]$ с помощью производной: $$ V'(x) = \left( \frac{\sqrt{3}}{12} (9x^2 - x^3) \right)' = \frac{\sqrt{3}}{12} (18x - 3x^2) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{12} x(6 - x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x(6 - x) $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ \frac{\sqrt{3}}{4} x(6 - x) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Отрезку $[1; 8]$ принадлежит только точка $x = 6$. Определим знаки производной $V'(x)$ на промежутках: - при $x \in [1; 6)$ производная $V'(x) > 0$, следовательно, функция $V(x)$ возрастает; - при $x \in (6; 8]$ производная $V'(x) < 0$, следовательно, функция $V(x)$ убывает. Таким образом, $x = 6$ является точкой максимума функции $V(x)$, и в этой точке функция принимает своё наибольшее значение на отрезке $[1; 8]$. Значит, объём пирамиды является наибольшим при стороне основания, равной $6$. Ответ: 6