ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1074

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра (в дм), а $H$ — его высота (в дм). Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $H$ (высота цилиндра). Периметр осевого сечения равен: $$ P = 2(2R + H) = 4R + 2H $$ По условию $P = 6$ дм, следовательно: $$ 4R + 2H = 6 \implies 2R + H = 3 \implies H = 3 - 2R $$ Так как длина радиуса и высоты должны быть положительными величинами, найдем область допустимых значений для $R$: $$ \begin{cases} R > 0 \\ 3 - 2R > 0 \end{cases} \implies 0 < R < 1{,}5 $$ Объём цилиндра выражается формулой: $$ V = \pi R^2 H $$ Подставим выражение для высоты $H$ в формулу объёма: $$ V(R) = \pi R^2 (3 - 2R) = \pi (3R^2 - 2R^3) $$ Найдем значение $R \in (0; 1{,}5)$, при котором функция $V(R)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем её производную: $$ V'(R) = \pi (3R^2 - 2R^3)' = \pi (6R - 6R^2) = 6\pi R(1 - R) $$ Найдем стационарные точки, решив уравнение $V'(R) = 0$: $$ 6\pi R(1 - R) = 0 $$ $$ R_1 = 0, \quad R_2 = 1 $$ Интервалу $(0; 1{,}5)$ принадлежит только точка $R = 1$. Определим знаки производной на интервале $(0; 1{,}5)$: - при $R \in (0; 1)$ производная $V'(R) > 0$, функция $V(R)$ возрастает; - при $R \in (1; 1{,}5)$ производная $V'(R) < 0$, функция $V(R)$ убывает. Значит, $R = 1$ — точка максимума. Так как на интервале $(0; 1{,}5)$ эта точка экстремума единственная, то в ней функция $V(R)$ принимает своё наибольшее значение. Таким образом, объём цилиндра будет наибольшим при радиусе основания, равном $1$ дм. Ответ: $1$ дм.