ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1072

### 1) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$ **1. Область определения функции** Функция является многочленом, поэтому определена при всех действительных значениях $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность функции** $$ y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x) $$ Функция чётная, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. **3. Точки пересечения графика с осями координат** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0 $$ Точка $(0; 0)$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ -\frac{x^4}{4} + x^2 = 0 $$ $$ x^2 \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) = 0 $$ $$ x^2 = 0 \quad \text{или} \quad \frac{x^2}{4} = 1 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm 2 $$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$. **4. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную функции: $$ y' = \left(-\frac{x^4}{4} + x^2\right)' = -x^3 + 2x = -x(x^2 - 2) = -x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ -x(x^2 - 2) = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \sqrt{2} $$ Определим знаки производной на полученных интервалах методом пробных точек: * на промежутке $(-\infty; -\sqrt{2})$: $y'(-2) = -(-2)^3 + 2(-2) = 8 - 4 = 4 > 0$ — функция возрастает; * на промежутке $(-\sqrt{2}; 0)$: $y'(-1) = -(-1)^3 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0$ — функция убывает; * на промежутке $(0; \sqrt{2})$: $y'(1) = -(1)^3 + 2(1) = -1 + 2 = 1 > 0$ — функция возрастает; * на промежутке $(\sqrt{2}; +\infty)$: $y'(2) = -(2)^3 + 2(2) = -8 + 4 = -4 < 0$ — функция убывает. Значения функции в точках экстремума: * $x = -\sqrt{2}$ — точка локального максимума: $$ y(-\sqrt{2}) = -\frac{(-\sqrt{2})^4}{4} + (-\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1 $$ Точка максимума: $(-\sqrt{2}; 1)$. * $x = 0$ — точка локального минимума: $$ y(0) = 0 $$ Точка минимума: $(0; 0)$. * $x = \sqrt{2}$ — точка локального максимума: $$ y(\sqrt{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1 $$ Точка максимума: $(\sqrt{2}; 1)$. **5. Точки перегиба и выпуклость** Найдём вторую производную: $$ y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2 $$ $$ -3x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \approx \pm 0{,}82 $$ * при $x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty\right)$ значение $y'' < 0$ — график выпуклый вверх; * при $x \in \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ значение $y'' > 0$ — график выпуклый вниз. Ордината точек перегиба: $$ y\left(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}56 $$ Точки перегиба: $\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9}\right)$. **6. Построение графика** * График имеет форму буквы «М», симметричен относительно оси $Oy$. * Ветви графика направлены вниз: при $x \to \pm\infty$ значение $y \to -\infty$. * График проходит через точки: $(-2; 0)$, $(-\sqrt{2}; 1) \approx (-1{,}41; 1)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{2}; 1) \approx (1{,}41; 1)$, $(2; 0)$. --- ### 2) $y = x^4 - 2x^2 - 3$ **1. Область определения функции** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность функции** $$ y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси ординат $Oy$. **3. Точки пересечения графика с осями координат** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 - 3 = -3 $$ Точка $(0; -3)$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ x^4 - 2x^2 - 3 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 \implies (t - 3)(t + 1) = 0 $$ Отсюда $t_1 = 3$, $t_2 = -1$ (не удовлетворяет условию $t \ge 0$). $$ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73 $$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. **4. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$ y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1 $$ Определим знаки производной на промежутках: * на $(-\infty; -1)$: $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8 \cdot 3 = -24 < 0$ — функция убывает; * на $(-1; 0)$: $y'(-0{,}5) = 4(-0{,}5)((-0{,}5)^2 - 1) = -2 \cdot (-0{,}75) = 1{,}5 > 0$ — функция возрастает; * на $(0; 1)$: $y'(0{,}5) = 4(0{,}5)((0{,}5)^2 - 1) = 2 \cdot (-0{,}75) = -1{,}5 < 0$ — функция убывает; * на $(1; +\infty)$: $y'(2) = 4(2)(2^2 - 1) = 8 \cdot 3 = 24 > 0$ — функция возрастает. Значения функции в точках экстремума: * $x = -1$ — точка локального минимума: $$ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$ Точка минимума: $(-1; -4)$. * $x = 0$ — точка локального максимума: $$ y(0) = -3 $$ Точка максимума: $(0; -3)$. * $x = 1$ — точка локального минимума: $$ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$ Точка минимума: $(1; -4)$. **5. Точки перегиба и выпуклость** Найдём вторую производную: $$ y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1) $$ $$ 3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \approx \pm 0{,}58 $$ * при $x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)$ значение $y'' > 0$ — график выпуклый вниз; * при $x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ значение $y'' < 0$ — график выпуклый вверх. Ордината точек перегиба: $$ y\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} - \frac{27}{9} = -\frac{32}{9} = -3\frac{5}{9} \approx -3{,}56 $$ Точки перегиба: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9}\right)$. **6. Построение графика** * График имеет W-образную форму, симметричен относительно оси $Oy$. * Ветви графика направлены вверх: при $x \to \pm\infty$ значение $y \to +\infty$. * График проходит через ключевые точки: $(-\sqrt{3}; 0) \approx (-1{,}73; 0)$, $(-1; -4)$, $(0; -3)$, $(1; -4)$, $(\sqrt{3}; 0) \approx (1{,}73; 0)$.