ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1068

**1)** $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$ 1. Область определения функции — вся числовая прямая: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 4)' = 3x^2 + 6x - 9 $$ 3. Найдём стационарные точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -3, \quad x_2 = 1 $$ 4. Разложим производную на множители: $f'(x) = 3(x + 3)(x - 1)$ и определим её знаки на полученных интервалах методом интервалов: - на интервале $(-\infty; -3)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает); - на интервале $(-3; 1)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает); - на интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = -3$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = -3$ — точка максимума ($x_{\text{max}} = -3$). При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 1$ — точка минимума ($x_{\text{min}} = 1$). 5. Вычислим значения функции в точках экстремума: $$ f_{\text{max}} = f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) + 4 = -27 + 27 + 27 + 4 = 31 $$ $$ f_{\text{min}} = f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 4 = 1 + 3 - 9 + 4 = -1 $$ **Ответ к пункту 1:** $x_{\text{max}} = -3$, $f_{\text{max}} = 31$; $x_{\text{min}} = 1$, $f_{\text{min}} = -1$. --- **2)** $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^4 - 2x^5 + 5)' = 4x^3 - 10x^4 $$ 3. Найдём стационарные точки, приравняв производную к нулю: $$ 4x^3 - 10x^4 = 0 $$ Вынесем общий множитель $2x^3$ за скобки: $$ 2x^3(2 - 5x) = 0 $$ Отсюда: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 5x = 0 \implies x_2 = \frac{2}{5} = 0{,}4 $$ 4. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; 0)$ возьмём $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^3 - 10(-1)^4 = -4 - 10 = -14 < 0$ (функция убывает); - на интервале $(0; 0{,}4)$ возьмём $x = 0{,}1$: $f'(0{,}1) = 2 \cdot (0{,}1)^3 \cdot (2 - 5 \cdot 0{,}1) = 2 \cdot 0{,}001 \cdot 1{,}5 > 0$ (функция возрастает); - на интервале $(0{,}4; +\infty)$ возьмём $x = 1$: $f'(1) = 4(1)^3 - 10(1)^4 = -6 < 0$ (функция убывает). При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = 0$ — точка минимума ($x_{\text{min}} = 0$). При переходе через точку $x = 0{,}4$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = 0{,}4$ — точка максимума ($x_{\text{max}} = 0{,}4$). 5. Вычислим значения функции в точках экстремума: $$ f_{\text{min}} = f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^5 + 5 = 5 $$ $$ f_{\text{max}} = f(0{,}4) = (0{,}4)^4 - 2 \cdot (0{,}4)^5 + 5 = 0{,}0256 - 2 \cdot 0{,}01024 + 5 = 0{,}0256 - 0{,}02048 + 5 = 5{,}00512 $$ В виде обыкновенной дроби: $$ f\left(\frac{2}{5}\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^4 - 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^5 + 5 = \frac{16}{625} - \frac{64}{3125} + 5 = \frac{80 - 64}{3125} + 5 = 5\frac{16}{3125} $$ **Ответ к пункту 2:** $x_{\text{min}} = 0$, $f_{\text{min}} = 5$; $x_{\text{max}} = 0{,}4$, $f_{\text{max}} = 5{,}00512$ (или $x_{\text{max}} = \frac{2}{5}$, $f_{\text{max}} = 5\frac{16}{3125}$).