ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1067

Стационарными точками функции называются точки, в которых её производная равна нулю. 1. Найдём производную заданной функции: $$ y' = (x^3 - 3ax^2 + 27x - 5)' $$ $$ y' = 3x^2 - 6ax + 27 $$ 2. Стационарные точки функции являются решениями уравнения $y' = 0$: $$ 3x^2 - 6ax + 27 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ x^2 - 2ax + 9 = 0 $$ 3. Полученное уравнение является квадратным с коэффициентами $A = 1 \neq 0$, $B = -2a$, $C = 9$. Квадратное уравнение имеет единственный действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю: $$ D = B^2 - 4AC $$ $$ D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36 $$ Приравняем дискриминант к нулю: $$ 4a^2 - 36 = 0 $$ $$ 4a^2 = 36 $$ $$ a^2 = 9 $$ $$ a = \pm 3 $$ Следовательно, функция имеет единственную стационарную точку при $a = -3$ и $a = 3$. Ответ: $a = \pm 3$ (или $a = -3$, $a = 3$).