ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1027

### 1) $y = 3^x + 1$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Множество значений:** так как $3^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то $3^x + 1 > 1$, следовательно, $E(y) = (1; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** $$ y(-x) = 3^{-x} + 1 = \frac{1}{3^x} + 1 $$ Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). 4. **Монотонность:** функция возрастает на всей области определения, так как показательная функция $y = 3^x$ возрастает (основание $3 > 1$). 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: уравнение $3^x + 1 = 0 \implies 3^x = -1$ не имеет корней, поэтому график не пересекает ось $Ox$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения — $(0; 2)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$. 7. **Асимптота:** горизонтальная асимптота — прямая $y = 1$ (при $x \to -\infty$). **Построение графика:** График получается параллельным переносом графика базовой показательной функции $y = 3^x$ вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1\frac{1}{9}$ | $1\frac{1}{3}$ | $2$ | $4$ | $10$ | --- ### 2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Множество значений:** так как $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$, то $E(y) = (-3; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** функция общего вида (ни четная, ни нечетная). 4. **Монотонность:** функция убывает на всей числовой прямой, так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$. 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3 = 0 \implies 2^{-x} = 3 \implies x = -\log_2 3 \approx -1{,}58 $$ Точка пересечения: $(-\log_2 3; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = \left(\frac{1}{2}\right)^0 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка пересечения: $(0; -2)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\log_2 3)$; - $y < 0$ при $x \in (-\log_2 3; +\infty)$. 7. **Асимптота:** горизонтальная асимптота — прямая $y = -3$ (при $x \to +\infty$). **Построение графика:** График получается параллельным переносом графика $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ вдоль оси $Oy$ вниз на $3$ единицы. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $-1$ | $-2$ | $-2{,}5$ | $-2{,}75$ | --- ### 3) $y = \log_2(x + 1)$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** подлогарифмическое выражение строго положительно: $$ x + 1 > 0 \implies x > -1 $$ Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** функция общего вида. 4. **Монотонность:** функция возрастает на всей области определения $(-1; +\infty)$, так как основание логарифма $2 > 1$. 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: $\log_2(x + 1) = 0 \implies x + 1 = 1 \implies x = 0$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 0$. График проходит через начало координат — точку $(0; 0)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in (-1; 0)$. 7. **Асимптота:** вертикальная асимптота — прямая $x = -1$ (при $x \to -1+0, y \to -\infty$). **Построение графика:** График получается параллельным переносом графика функции $y = \log_2 x$ вдоль оси $Ox$ влево на $1$ единицу. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-0{,}75$ | $-0{,}5$ | $0$ | $1$ | $3$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | --- ### 4) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ Таким образом, $D(y) = (1; +\infty)$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** функция общего вида. 4. **Монотонность:** функция убывает на всей области определения $(1; +\infty)$, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$. 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: $\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = 0 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$. Точка пересечения — $(2; 0)$; - с осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0$ не входит в область определения. 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x - 1 < 1 \implies x \in (1; 2)$; - $y < 0$ при $x - 1 > 1 \implies x \in (2; +\infty)$. 7. **Асимптота:** вертикальная асимптота — прямая $x = 1$ (при $x \to 1+0, y \to +\infty$). **Построение графика:** График получается параллельным переносом графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ вдоль оси $Ox$ вправо на $1$ единицу. Таблица контрольных точек: | $x$ | $1\frac{1}{9}$ | $1\frac{1}{3}$ | $2$ | $4$ | $10$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | --- ### 5) $y = \sqrt{x + 1} - 2$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** подкоренное выражение неотрицательно: $$ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 $$ Следовательно, $D(y) = [-1; +\infty)$. 2. **Множество значений:** поскольку $\sqrt{x + 1} \ge 0$, то $\sqrt{x + 1} - 2 \ge -2$, значит, $E(y) = [-2; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** функция общего вида. 4. **Монотонность:** функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$. 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: $$ \sqrt{x + 1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x + 1} = 2 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3 $$ Точка пересечения: $(3; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = \sqrt{0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка пересечения: $(0; -1)$. 6. **Начальная точка графика:** при $x = -1$ значение $y = -2$, то есть точка $(-1; -2)$. 7. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in [-1; 3)$. **Построение графика:** График представляет собой ветвь параболы, полученную сдвигом графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ влево на $1$ единицу вдоль оси $Ox$ и вниз на $2$ единицы вдоль оси $Oy$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | --- ### 6) $y = \sqrt{2x - 1} + 1$ **Основные свойства:** 1. **Область определения:** $$ 2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0{,}5 $$ Таким образом, $D(y) = [0{,}5; +\infty)$. 2. **Множество значений:** так как $\sqrt{2x - 1} \ge 0$, то $y \ge 1$, следовательно, $E(y) = [1; +\infty)$. 3. **Четность/нечетность:** функция общего вида. 4. **Монотонность:** функция возрастает на промежутке $[0{,}5; +\infty)$. 5. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Ox$: уравнение $\sqrt{2x - 1} + 1 = 0 \implies \sqrt{2x - 1} = -1$ не имеет действительных корней (график не пересекает ось $Ox$); - с осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0$ не входит в область определения. 6. **Начальная точка графика:** при $x = 0{,}5$ значение $y = \sqrt{0} + 1 = 1$, то есть точка $(0{,}5; 1)$. 7. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ для всех $x \in [0{,}5; +\infty)$. **Построение графика:** Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{2(x - 0{,}5)} + 1$. График получается из графика $y = \sqrt{x}$ сжатием к оси ординат в $2$ раза, сдвигом вправо на $0{,}5$ единицы и сдвигом вверх на $1$ единицу. Таблица контрольных точек: | $x$ | $0{,}5$ | $1$ | $2{,}5$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |