ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1025

**1. Построение графика функции $y = \sqrt{25 - x^2}$** 1) Найдём область определения функции: $$25 - x^2 \ge 0$$ $$(5 - x)(5 + x) \ge 0 \implies x \in [-5; 5]$$ Таким образом, $D(y) = [-5; 5]$. 2) Множество значений функции: так как корень арифметический, $y \ge 0$. 3) Преобразуем уравнение функции: Возведём обе части уравнения $y = \sqrt{25 - x^2}$ в квадрат при условии $y \ge 0$: $$y^2 = 25 - x^2$$ $$x^2 + y^2 = 25 \quad (y \ge 0)$$ Уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ задаёт окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = 5$. Так как $y \ge 0$, графиком исходной функции является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом $R = 5$. 4) Основные точки для построения: - точки пересечения с осью $Ox$: $(-5; 0)$ и $(5; 0)$; - точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 5)$; - дополнительные точки: $(\pm 3; 4)$, $(\pm 4; 3)$. Для построения графика в тетради чертим полуокружность радиусом $5$ единичных отрезков, расположенную в верхней полуплоскости с центром в точке $(0; 0)$. --- **2. Промежутки монотонности функции (по графику)** По построенному графику определяем: - При изменении $x$ от $-5$ до $0$ линия графика поднимается (значения $y$ возрастают от $0$ до $5$): функция возрастает на отрезке $[-5; 0]$. - При изменении $x$ от $0$ до $5$ линия графика опускается (значения $y$ убывают от $5$ до $0$): функция убывает на отрезке $[0; 5]$. --- **3. Доказательство симметрии графика относительно оси $Oy$** График функции симметричен относительно оси $Oy$ тогда и только тогда, когда функция является чётной. Проверим условия чётности для функции $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$: 1) Область определения функции $D(f) = [-5; 5]$ симметрична относительно начала координат: если $x \in [-5; 5]$, то и $-x \in [-5; 5]$. 2) Найдём $f(-x)$: $$f(-x) = \sqrt{25 - (-x)^2} = \sqrt{25 - x^2} = f(x)$$ Так как для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция $y = \sqrt{25 - x^2}$ является чётной. Следовательно, график функции симметричен относительно оси $Oy$, что и требовалось доказать.