ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1026

**1. Построение графика функции $y = \frac{5}{x - 2}$** 1) Область определения функции: знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2) График функции получается параллельным переносом графика гиперболы $y = \frac{5}{x}$ вдоль оси $Ox$ на $2$ единицы вправо. * Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$. * Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$). 3) Составим таблицу контрольных точек для построения двух ветвей гиперболы: * Для $x < 2$: * если $x = -3$, то $y = \frac{5}{-3 - 2} = -1$; * если $x = 0$, то $y = \frac{5}{0 - 2} = -2{,}5$; * если $x = 1$, то $y = \frac{5}{1 - 2} = -5$. * Для $x > 2$: * если $x = 3$, то $y = \frac{5}{3 - 2} = 5$; * если $x = 4$, то $y = \frac{5}{4 - 2} = 2{,}5$; * если $x = 7$, то $y = \frac{5}{7 - 2} = 1$. По нанесённым точкам и асимптотам $x = 2$ и $y = 0$ строим ветви гиперболы в первой и третьей четвертях относительно новых асимптот. --- **2. Доказательство убывания функции на промежутках $x < 2$ и $x > 2$** Найдем производную функции $y = \frac{5}{x - 2}$: $$y' = \left( 5(x - 2)^{-1} \right)' = 5 \cdot (-1)(x - 2)^{-2} = -\frac{5}{(x - 2)^2}$$ Выражение $(x - 2)^2 > 0$ при всех $x \neq 2$. Следовательно: $$y' = -\frac{5}{(x - 2)^2} < 0 \quad \text{при всех } x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$$ Так как производная функции отрицательна на каждом из промежутков $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, функция $y = \frac{5}{x - 2}$ убывает на промежутке $x < 2$ и убывает на промежутке $x > 2$, что и требовалось показать. --- **3. Нахождение точки пересечения графика с осью ординат** График пересекает ось ординат при $x = 0$. Подставим $x = 0$ в формулу функции: $$y(0) = \frac{5}{0 - 2} = -\frac{5}{2} = -2{,}5$$ Таким образом, график пересекает ось ординат в точке $(0; -2{,}5)$. --- **Ответ:** график функции пересекает ось ординат в точке $(0; -2{,}5)$.