ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1029

Графики функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + a$ имеют общие точки тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система уравнений: $$ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 2, \\ y = -2x + a. \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ x^2 - 4x + 2 = -2x + a $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены: $$ x^2 - 4x + 2x + 2 - a = 0 $$ $$ x^2 - 2x + (2 - a) = 0 $$ Полученное уравнение является квадратным относительно переменной $x$ с коэффициентами: $A = 1$, $B = -2$, $C = 2 - a$. Квадратное уравнение имеет действительные корни (а значит, графики имеют общие точки) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$): $$ D = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - a) $$ $$ D = 4 - 8 + 4a = 4a - 4 $$ Составим и решим неравенство: $$ 4a - 4 \ge 0 $$ $$ 4a \ge 4 $$ $$ a \ge 1 $$ Таким образом, при $a \ge 1$ графики функций имеют хотя бы одну общую точку (при $a = 1$ — одну точку, при $a > 1$ — две точки). Ответ: $a \ge 1$ (или $a \in [1; +\infty)$).