ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1028

### 1) Построение графика функции $y = 2^{x-1} - 3$ **Схема преобразования базового графика:** 1. Исходный график: показательная функция $y = 2^x$. 2. Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу вправо: получаем график $y = 2^{x-1}$. 3. Параллельный перенос вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вниз: получаем искомый график $y = 2^{x-1} - 3$. **Основные характеристики функции:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Множество значений: $E(y) = (-3; +\infty)$. - Горизонтальная асимптота: прямая $y = -3$. - Функция возрастает на всей числовой прямой. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = 2^{x-1}-3$ | $-2{,}75$ | $-2{,}5$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $5$ | **Построение:** 1. Проводим пунктирную прямую горизонтальной асимптоты $y = -3$. 2. Отмечаем точки $(-1; -2{,}75)$, $(0; -2{,}5)$, $(1; -2)$, $(2; -1)$, $(3; 1)$, $(4; 5)$. 3. Соединяем точки плавной линией, приближающейся к асимптоте $y = -3$ при $x \to -\infty$ и неограниченно растущей при $x \to +\infty$. --- ### 2) Построение графика функции $y = \log_2 (x + 2) + 3$ **Схема преобразования базового графика:** 1. Исходный график: логарифмическая функция $y = \log_2 x$. 2. Параллельный перенос вдоль оси $Ox$ на $2$ единицы влево: получаем график $y = \log_2 (x + 2)$. 3. Параллельный перенос вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вверх: получаем искомый график $y = \log_2 (x + 2) + 3$. **Основные характеристики функции:** - Область определения: $x + 2 > 0 \implies x > -2$, то есть $D(y) = (-2; +\infty)$. - Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. - Вертикальная асимптота: прямая $x = -2$. - Функция возрастает на всей области определения. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-1{,}75$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $x + 2$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | | $y$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | **Построение:** 1. Проводим пунктирную прямую вертикальной асимптоты $x = -2$. 2. Отмечаем точки $(-1{,}75; 1)$, $(-1{,}5; 2)$, $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(2; 5)$, $(6; 6)$. 3. Соединяем точки плавной линией, уходящей вниз вдоль асимптоты $x = -2$ при $x \to -2+0$ и плавно возрастающей при увеличении $x$. --- ### 3) Построение графика функции $y = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$ **Схема преобразования базового графика:** 1. Исходный график: синусоида $y = \sin x$. 2. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо: получаем $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. 3. Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза от оси абсцисс: получаем $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. **Основные характеристики функции:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Множество значений: так как $-1 \leqslant \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \leqslant 1$, то $E(y) = [-2; 2]$. - Период функции: $T = 2\pi$. **Контрольные точки на одном периоде $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right]$:** - При $x = \frac{\pi}{3}$: $$ y = 2\sin 0 = 0 $$ - При $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$: $$ y = 2\sin \frac{\pi}{2} = 2 \quad \text{(максимум)} $$ - При $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$: $$ y = 2\sin \pi = 0 $$ - При $x = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$: $$ y = 2\sin \frac{3\pi}{2} = -2 \quad \text{(минимум)} $$ - При $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$: $$ y = 2\sin 2\pi = 0 $$ - Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = 2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \approx -1{,}73 $$ **Построение:** 1. По оси абсцисс удобно выбрать масштаб, при котором отрезок $\pi$ равен $6$ клеткам тетради (тогда $1$ клетка $= \frac{\pi}{6}$, $2$ клетки $= \frac{\pi}{3}$). 2. Отмечаем ключевые точки волны на периоде: $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{5\pi}{6}; 2\right)$, $\left(\frac{4\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{11\pi}{6}; -2\right)$, $\left(\frac{7\pi}{3}; 0\right)$. 3. Плавно соединяем волну и продолжаем её влево и вправо с шагом $2\pi$. --- ### 4) Построение графика функции $y = \frac{\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} + 1$ Запишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 $$ **Схема преобразования базового графика:** 1. Исходный график: косинусоида $y = \cos x$. 2. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ влево: получаем $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. 3. Сжатие вдоль оси $Oy$ в $2$ раза к оси абсцисс: получаем $y = \frac{1}{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. 4. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вверх: получаем искомый график. **Основные характеристики функции:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Множество значений: так как $-1 \leqslant \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqslant 1$, получаем: $$ -\frac{1}{2} + 1 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2} + 1 \implies E(y) = [0{,}5; 1{,}5] $$ - Период функции: $T = 2\pi$. - Линия центров колебаний (средняя линия): прямая $y = 1$. **Контрольные точки на одном периоде $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]$:** - При $x = -\frac{\pi}{4}$: $$ y = \frac{1}{2}\cos 0 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = 1{,}5 \quad \text{(максимум)} $$ - При $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$: $$ y = \frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{2} + 1 = 1 $$ - При $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$: $$ y = \frac{1}{2}\cos \pi + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = 0{,}5 \quad \text{(минимум)} $$ - При $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$: $$ y = \frac{1}{2}\cos \frac{3\pi}{2} + 1 = 1 $$ - При $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$: $$ y = \frac{1}{2}\cos 2\pi + 1 = 1{,}5 \quad \text{(максимум)} $$ - Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} + 1 = \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \approx 1{,}35 $$ **Построение:** 1. По оси абсцисс удобно взять масштаб: $\pi = 4$ клетки (тогда $1$ клетка $= \frac{\pi}{4}$). 2. Проводим тонкую вспомогательную линию уровня $y = 1$. 3. Наносим характерные точки: $\left(-\frac{\pi}{4}; 1{,}5\right)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}; 0{,}5\right)$, $\left(\frac{5\pi}{4}; 1\right)$, $\left(\frac{7\pi}{4}; 1{,}5\right)$. 4. Соединяем их плавной волной косинусоиды с амплитудой $0{,}5$ относительно линии $y = 1$ и периодически продолжаем влево и вправо.