ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1022

1) Преобразуем функцию $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x$, используя метод вспомогательного угла. Вынесем множитель $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ за скобки: $$ y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x \right) $$ Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, применим формулу синуса разности: $$ y = 2 \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{3} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) $$ Для любого значения $x$ справедливо неравенство: $$ -1 \le \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $2$: $$ -2 \le 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) \le 2 $$ $$ -2 \le y \le 2 $$ Таким образом, наибольшее значение функции равно $2$, наименьшее значение функции равно $-2$. 2) Преобразуем функцию $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$, используя формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $$ y = 2 \cos 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ y = 2 \cos 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} $$ Для любого значения $x$ справедливо неравенство: $$ -1 \le \cos 2x \le 1 $$ Оценим выражение $\frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$: $$ -\frac{3}{2} \le \frac{3}{2} \cos 2x \le \frac{3}{2} $$ Прибавим ко всем частям $\frac{1}{2}$: $$ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{1}{2} $$ $$ -1 \le y \le 2 $$ Таким образом, наибольшее значение функции равно $2$, наименьшее значение функции равно $-1$. **Ответ:** 1) наибольшее значение: $2$; наименьшее значение: $-2$; 2) наибольшее значение: $2$; наименьшее значение: $-1$.