ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.15

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Комплексное число $z$ на комплексной плоскости изображается точкой с координатами $(x; y)$, где действительная часть $\operatorname{Re} z = x$ откладывается по горизонтальной оси, а мнимая часть $\operatorname{Im} z = y$ — по вертикальной оси. --- ### 1) $2 \leq |z - 1 + i| < 3$ Преобразуем выражение под знаком модуля: $$ |z - (1 - i)| $$ Геометрически величина $|z - (1 - i)|$ представляет собой расстояние от точки $z(x; y)$ до фиксированной точки $z_0 = 1 - i$ с координатами $(1; -1)$. Двойное неравенство: $$ 2 \leq |z - (1 - i)| < 3 $$ означает, что расстояние от точки $z$ до точки $(1; -1)$ не меньше $2$ и строго меньше $3$. **Геометрическое изображение:** Кольцо с центром в точке $(1; -1)$, ограниченное двумя концентрическими окружностями: * внутренняя окружность имеет радиус $R_1 = 2$ и включается в данное множество (изображается сплошной линией); * внешняя окружность имеет радиус $R_2 = 3$ и не включается в данное множество (изображается пунктирной линией). Множество состоит из всех точек между этими окружностями, включая саму внутреннюю границу. --- ### 2) $|z - 2| \geq |z + 4i|$ Перепишем неравенство в виде расстояний: $$ |z - 2| \geq |z - (-4i)| $$ Геометрически это означает, что расстояние от точки $z$ до точки $A(2; 0)$ больше либо равно расстоянию от точки $z$ до точки $B(0; -4)$. Перейдем к координатам: $$ |(x - 2) + iy| \geq |x + i(y + 4)| $$ $$ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} \geq \sqrt{x^2 + (y + 4)^2} $$ Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (x - 2)^2 + y^2 \geq x^2 + (y + 4)^2 $$ $$ x^2 - 4x + 4 + y^2 \geq x^2 + y^2 + 8y + 16 $$ $$ -4x + 4 \geq 8y + 16 $$ $$ 8y \leq -4x - 12 $$ $$ y \leq -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} $$ **Геометрическое изображение:** Прямая $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ (являющаяся серединным перпендикуляром к отрезку с концами $(2; 0)$ и $(0; -4)$) и вся полуплоскость, лежащая ниже этой прямой (включая саму граничную прямую, которая строится сплошной линией). --- ### 3) $|z - 2| \geq |z + 4i|$ Условие полностью совпадает с пунктом 2: $$ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} \geq \sqrt{x^2 + (y + 4)^2} \iff y \leq -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} $$ **Геометрическое изображение:** Полуплоскость, расположенная под прямой $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, включая саму прямую (сплошная линия). --- ### 4) $|z| = \operatorname{Im} z$ Так как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\operatorname{Im} z = y$, получаем уравнение: $$ \sqrt{x^2 + y^2} = y $$ По определению арифметического квадратного корня, левая часть неотрицательна, следовательно, $y \geq 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $y \geq 0$: $$ x^2 + y^2 = y^2 $$ $$ x^2 = 0 \iff x = 0 $$ Учитывая условие $y \geq 0$, получаем: $$ \begin{cases} x = 0, \\ y \geq 0. \end{cases} $$ **Геометрическое изображение:** Луч, лежащий на мнимой оси, исходящий из начала координат $(0; 0)$ и направленный вверх (неотрицательная часть мнимой оси, включая начало координат). --- ### 5) $|z| \geq \operatorname{Re} z$ Так как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\operatorname{Re} z = x$, неравенство принимает вид: $$ \sqrt{x^2 + y^2} \geq x $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $x < 0$, то левая часть $\sqrt{x^2 + y^2} \geq 0$, а правая часть $x < 0$. Неравенство верно при любых действительных значениях $y$. 2. Если $x \geq 0$, обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ x^2 + y^2 \geq x^2 \iff y^2 \geq 0 $$ Неравенство $y^2 \geq 0$ выполняется для всех $y \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство верно для любых действительных $x$ и $y$. **Геометрическое изображение:** Вся комплексная плоскость. --- ### 6) $|z - i| = \operatorname{Im} z$ Подставим $z = x + iy$ и $\operatorname{Im} z = y$: $$ |x + i(y - 1)| = y $$ $$ \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = y $$ Так как корень неотрицателен, должно выполняться условие $y \geq 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + (y - 1)^2 = y^2 $$ $$ x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 $$ $$ x^2 - 2y + 1 = 0 $$ $$ 2y = x^2 + 1 \iff y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} $$ Заметим, что для любого $x \in \mathbb{R}$ выражение $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} > 0$, поэтому условие $y \geq 0$ выполняется автоматически. **Геометрическое изображение:** Парабола $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ с вершиной в точке $\left(0; \frac{1}{2}\right)$, ветви которой направлены вверх.