ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.12

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид: $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль комплексного числа ($r > 0$), а аргумент $\varphi$ определяется из системы: $$ \begin{cases} \cos\varphi = \dfrac{a}{r} \\ \sin\varphi = \dfrac{b}{r} \end{cases} $$ --- ### 1) $z = 7$ Действительная часть $a = 7$, мнимая часть $b = 0$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{7}{7} = 1, \quad \sin\varphi = \frac{0}{7} = 0 \implies \varphi = 0 $$ **Ответ:** $$ 7 = 7(\cos 0 + i\sin 0) $$ --- ### 2) $z = 4i$ Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 4$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{0}{4} = 0, \quad \sin\varphi = \frac{4}{4} = 1 \implies \varphi = \frac{\pi}{2} $$ **Ответ:** $$ 4i = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ --- ### 3) $z = -2 + 2i$ Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 2$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Точка лежит во II координатной четверти, следовательно: $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $$ **Ответ:** $$ -2 + 2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) $$ *(Примечание: если в данном пункте задано число $z = -1 + 2i$, то его модуль $r = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$, аргумент $\varphi = \pi - \operatorname{arctg} 2$, а тригонометрическая форма: $\sqrt{5}(\cos(\pi - \operatorname{arctg} 2) + i\sin(\pi - \operatorname{arctg} 2))$. Если же имелась опечатка вместо $-1 + i\sqrt{3}$, то $r = 2$, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$, и $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$).* --- ### 4) $z = \sqrt{3} + i$ Действительная часть $a = \sqrt{3}$, мнимая часть $b = 1$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\varphi = \frac{1}{2} $$ Точка лежит в I координатной четверти, следовательно: $$ \varphi = \frac{\pi}{6} $$ **Ответ:** $$ \sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) $$ --- ### 5) $z = \sqrt{3} + i$ Задание совпадает с пунктом 4. Модуль $r = 2$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{6}$. **Ответ:** $$ \sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) $$ --- ### 6) $z = -3 - i$ Действительная часть $a = -3$, мнимая часть $b = -1$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = -\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin\varphi = -\frac{1}{\sqrt{10}} $$ Точка лежит в III координатной четверти, угол не является табличным: $$ \varphi = -\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $$ -3 - i = \sqrt{10}\left(\cos\left(-\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right) + i\sin\left(-\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right)\right) $$ *(Примечание: если в условии опечатка и число имеет вид $z = -\sqrt{3} - i$, то $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, $\cos\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$, откуда $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$, и число записывается как $2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)$).* --- ### 7) $z = (3 - 2i)^2$ 1. Выполним возведение в квадрат по формуле квадрата разности: $$ z = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i $$ 2. Найдём модуль числа ($a = 5$, $b = -12$): $$ r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$ 3. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{5}{13}, \quad \sin\varphi = -\frac{12}{13} $$ Точка лежит в IV координатной четверти. Запишем аргумент через арктангенс: $$ \varphi = -\operatorname{arctg}\frac{12}{5} $$ **Ответ:** $$ (3 - 2i)^2 = 13\left(\cos\left(-\operatorname{arctg}\frac{12}{5}\right) + i\sin\left(-\operatorname{arctg}\frac{12}{5}\right)\right) $$ --- ### 8) $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ 1. Выполним деление, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число $(1 - i)$: $$ z = \frac{(2 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i + i - i^2}{1 - i^2} = \frac{2 - i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{3 - i}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i $$ 2. Найдём модуль числа ($a = \frac{3}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$): $$ r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $$ 3. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin\varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} $$ Точка лежит в IV координатной четверти: $$ \varphi = -\operatorname{arctg}\left(\frac{1/2}{3/2}\right) = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $$ \frac{2 + i}{1 + i} = \frac{\sqrt{10}}{2}\left(\cos\left(-\operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right) + i\sin\left(-\operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right)\right) $$