ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.16

1) Применим формулу синуса суммы $\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin (x + y)$: $$ \sin 3\alpha \cos 5\alpha + \sin 5\alpha \cos 3\alpha = \sin (3\alpha + 5\alpha) = \sin 8\alpha $$ 2) Применим формулу косинуса суммы $\cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos (x + y)$: $$ \cos 27^\circ \cos 18^\circ - \sin 27^\circ \sin 18^\circ = \cos (27^\circ + 18^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 3) Применим формулу косинуса суммы $\cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos (x + y)$: $$ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{5\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{5\pi}{8} = \cos \left(\frac{3\pi}{8} + \frac{5\pi}{8}\right) = \cos \frac{8\pi}{8} = \cos \pi = -1 $$ 4) Переставим слагаемые и применим формулу косинуса разности $\cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos (x - y)$: $$ \sin \alpha \sin (\alpha - \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos (\alpha - \beta) + \sin \alpha \sin (\alpha - \beta) = \cos (\alpha - (\alpha - \beta)) = \cos (\alpha - \alpha + \beta) = \cos \beta $$ 5) Так как функция синуса нечётная, то $\sin (-8^\circ) = -\sin 8^\circ$. Подставим это значение и применим формулу синуса суммы $\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin (x + y)$: $$ \sin 52^\circ \cos 8^\circ - \cos 52^\circ \sin (-8^\circ) = \sin 52^\circ \cos 8^\circ + \cos 52^\circ \sin 8^\circ = \sin (52^\circ + 8^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 6) Применим формулу синуса разности $\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin (x - y)$: $$ \sin (\alpha - \beta) \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \sin (\alpha + \beta) = \sin ((\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)) = \sin (\alpha - \beta - \alpha - \beta) = \sin (-2\beta) = -\sin 2\beta $$ 7) В числителе применим формулу синуса разности $\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin (x - y)$, а в знаменателе — формулу косинуса суммы $\cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos (x + y)$: $$ \frac{\sin 25^\circ \cos 10^\circ - \cos 25^\circ \sin 10^\circ}{\cos 10^\circ \cos 5^\circ - \sin 10^\circ \sin 5^\circ} = \frac{\sin (25^\circ - 10^\circ)}{\cos (10^\circ + 5^\circ)} = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \operatorname{tg} 15^\circ $$ Ответ: 1) $\sin 8\alpha$; 2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 3) $-1$; 4) $\cos \beta$; 5) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 6) $-\sin 2\beta$; 7) $\operatorname{tg} 15^\circ$.